Mệnh đề và tập hợp lớp 10: Bài tập nâng cao và cách giải được nâng lên bài có tham số, lượng từ, quan hệ cần–đủ và phép toán trên khoảng. Các trường hợp biên đóng/mở được coi là phần bắt buộc của lời giải, không phải chi tiết phụ.
Điểm khó cần nhận ra
- Với mệnh đề chứa “mọi” và “tồn tại”, phủ định phải đổi lượng từ và phủ định mệnh đề bên trong.
- Với tập hợp tham số, nên vẽ trục số để kiểm tra riêng các đầu mút mở/đóng.
- Điều kiện A∩B = A chính là A⊂B; điều kiện giao đúng một điểm thường xuất hiện khi hai đoạn vừa chạm nhau.
Đề bài
Bài 1: Tìm m để mệnh đề “với mọi x∈R, x² − 2mx + m + 2>0” đúng.
Bài 2: Cho A = [m,m + 2) và B = (0,5]. Tìm m để A⊂B.
Bài 3: Cho A = [−1,3], B = [m,m + 2]. Tìm m để A∩B có đúng một điểm.
Bài 4: Cho A = (−∞,m], B = (2,7). Tìm m để A∩B=∅ và giải thích riêng trường hợp m = 2.
Bài 5: Xét mệnh đề P(n): “Nếu n chia hết cho 6 thì n chia hết cho 3”. Hãy viết mệnh đề đảo, xác định đúng/sai và nêu điều kiện cần–đủ tương ứng.
Bài 6: Cho A = [m − 1,m + 1], B = [0,4]. Tìm m để A∩B = A, nhưng A≠B.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Tam thức bậc hai có hệ số đầu dương và phải dương với mọi x, nên cần Δ<0. Ta có Δ/4 = m² − m − 2 = (m − 2)(m + 1). Điều kiện (m − 2)(m + 1)<0 cho − 1<m<2.
Bài 2: Vì m thuộc A nhưng 0 không thuộc B nên cần m>0. Đầu phải m + 2 không thuộc A, vì vậy có thể chạm 5; cần m + 2≤5. Suy ra 0<m≤3.
Bài 3: Hai đoạn đóng chỉ giao đúng một điểm khi chúng vừa chạm nhau ở một đầu mút: hoặc m + 2=−1, cho m=−3; hoặc m = 3. Vậy m∈{−3,3}.
Bài 4: Nếu m≤2 thì A chỉ chứa các số không lớn hơn 2, còn B chỉ chứa các số lớn hơn 2 và nhỏ hơn 7, nên giao rỗng. Tại m = 2, số 2 thuộc A nhưng không thuộc B, vì vậy vẫn giao rỗng. Điều kiện là m≤2.
Bài 5: Mệnh đề đảo là “Nếu n chia hết cho 3 thì n chia hết cho 6”, mệnh đề này sai, phản ví dụ n = 3. Vì vậy chia hết cho 6 là điều kiện đủ để chia hết cho 3; chia hết cho 3 là điều kiện cần nhưng không đủ để chia hết cho 6.
Bài 6: Điều kiện A∩B = A tương đương A⊂B. Cần m − 1≥0 và m + 1≤4, nên 1≤m≤3. Độ dài A là 2 còn độ dài B là 4 nên A không thể bằng B; do đó toàn bộ 1≤m≤3 đều thỏa.
Tự kiểm tra sau khi giải
Ở bài tập hợp, hãy thử riêng trường hợp hai đầu mút bằng nhau. Ở bài mệnh đề, luôn phân biệt mệnh đề đảo với mệnh đề phủ định.
Xem tài liệu