Các dạng bài tập Đại số 10 nâng cao được nâng đúng mức Đại số 10 bằng các bài tham số, điều kiện nghiệm, miền xác định, hệ đối xứng, bất phương trình và giao điểm đồ thị. Mỗi bài đều có điều kiện biên cần biện luận.
Điểm khó cần nhận ra
- Bài tham số về nghiệm bậc hai nên kết hợp Δ với tổng–tích nghiệm, không chỉ xét Δ.
- Bài căn thức và phân thức phải giải điều kiện xác định trước khi biến đổi.
- Bài giao điểm đồ thị được chuyển về số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
Đề bài
Bài 1: Tìm m để phương trình x² − 2(m + 1)x + m² − 1 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt.
Bài 2: Tìm m để phương trình x² − 2mx + m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn 1.
Bài 3: Tìm tập xác định của y=√[(x − 1)/(x + 2)].
Bài 4: Giải hệ x + y = 5, x² + y² = 13 mà không thế trực tiếp từng ẩn.
Bài 5: Giải bất phương trình |2x − 3|≤x + 1.
Bài 6: Tìm m để đồ thị y = x² − 2mx + m + 2 nằm hoàn toàn phía trên trục Ox.
Bài 7: Tìm m để đường thẳng y = mx + 1 cắt parabol y = x² − 2x + 3 tại hai điểm phân biệt.
Bài 8: Cho f(x) = x² − 6x + 11. Không dùng đạo hàm, tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) và giải thích vì sao đạt được.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Theo Viète, tổng hai nghiệm là 2(m + 1), tích là m² − 1. Hai nghiệm dương cần tổng>0, tích>0 và Δ>0. Ta có Δ/4 = (m + 1)² − (m² − 1) = 2m + 2>0 nên m>−1. Kết hợp m² − 1>0 suy ra m>1.
Bài 2: Đặt y = x − 1. Phương trình trở thành y² + 2(1 − m)y + (3 − m) = 0 và cần hai nghiệm y dương phân biệt. Tổng hai nghiệm y là 2(m − 1)>0 nên m>1; tích là 3 − m>0 nên m<3. Mặt khác Δ/4 = (m − 2)(m + 1)>0. Kết hợp các điều kiện được 2<m<3.
Bài 3: Cần (x − 1)/(x + 2)≥0 và x≠−2. Xét dấu theo hai mốc − 2, 1: phân thức không âm trên (−∞,−2) và [1,+∞). Vậy D = (−∞,−2)∪[1,+∞).
Bài 4: Từ (x + y)² = x² + y² + 2xy suy ra 25 = 13 + 2xy, nên xy = 6. Khi đó x,y là hai nghiệm của t² − 5t + 6 = 0, tức 2 và 3. Vậy (x,y) = (2,3) hoặc (3,2).
Bài 5: Vì vế phải phải không âm nên x≥−1. Bất phương trình tương đương − (x + 1)≤2x − 3≤x + 1. Từ vế trái được x≥2/3; từ vế phải được x≤4. Vậy x∈[2/3,4].
Bài 6: Tam thức bậc hai có hệ số đầu dương và phải dương với mọi x, nên cần Δ<0. Ta có Δ/4 = m² − m − 2 = (m − 2)(m + 1)<0, suy ra − 1<m<2.
Bài 7: Hoành độ giao điểm thỏa x² − (m + 2)x + 2 = 0. Cần Δ = (m + 2)² − 8>0, tức |m + 2|>2√2. Vậy m<−2 − 2√2 hoặc m>−2 + 2√2.
Bài 8: Hoàn thành bình phương: f(x) = (x − 3)² + 2. Vì (x − 3)²≥0 nên f(x)≥2, dấu bằng khi x = 3. Giá trị nhỏ nhất là 2.
Tự kiểm tra sau khi giải
Với bài tham số, hãy ghi đủ ba nhóm điều kiện trước khi kết luận. Với bất phương trình có giá trị tuyệt đối hoặc căn, kiểm tra điều kiện xác định trước khi bình phương hay tách vế.
Xem tài liệu