9 chuyên đề Hình học THCS bồi dưỡng thi vào lớp 10 được tổ chức như bản đồ ôn thi vào lớp 10 theo hướng bồi dưỡng. Chín mảng trọng tâm gồm: đồng dạng; tứ giác nội tiếp; tiếp tuyến; hệ thức lượng; sức mạnh điểm; phân giác và tỉ số; thẳng hàng–đồng quy; cực trị hình học; và bài tổng hợp cần dựng thêm đường phụ.
9 chuyên đề trọng tâm
- Đồng dạng: nhận ra các cặp tam giác đồng dạng để suy tỉ số và tích đoạn thẳng.
- Tứ giác nội tiếp: khai thác góc cùng chắn cung, góc đối bù nhau và các dấu hiệu nội tiếp.
- Tiếp tuyến: kết nối bán kính vuông góc tiếp tuyến, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.
- Hệ thức lượng trong tam giác vuông: dùng đường cao, hình chiếu và các hệ thức cạnh.
- Sức mạnh của điểm: nhận ra các tích đoạn thẳng từ cát tuyến và tiếp tuyến.
- Phân giác và tỉ số: chuyển thông tin góc thành quan hệ độ dài trên cạnh đối diện.
- Thẳng hàng – đồng quy: ưu tiên các tiêu chuẩn Ceva, Menelaus hoặc tỉ số thích hợp.
- Cực trị hình học: biến đại lượng cần tối ưu về một biểu thức có miền giá trị rõ ràng.
- Bài tổng hợp và đường phụ: kết nối nhiều chuyên đề, chủ động dựng thêm đường khi cấu hình chưa lộ công cụ.
Sáu bài phía dưới là các bài minh họa chọn lọc cho nhiều chuyên đề; chúng không có nghĩa mỗi chuyên đề chỉ tương ứng đúng một bài.
Điểm khó cần nhận ra
- Không học mỗi chuyên đề như một công thức riêng; nhiều bài cần nối hai công cụ, chẳng hạn nội tiếp → sức mạnh điểm hoặc đồng dạng → tích đoạn thẳng.
- Khi gặp tích hai đoạn thẳng, nên nghĩ đến đồng dạng, tiếp tuyến–cát tuyến hoặc sức mạnh điểm.
- Bài đồng quy và thẳng hàng cần kiểm tra tỉ số theo Ceva/Menelaus thay vì đuổi góc kéo dài.
Đề bài
Bài 1: Trong tam giác nhọn ABC, BE ⟂ AC và CF ⟂ AB. Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp và suy ra AE·AC = AF·AB.
Bài 2: Từ điểm M ngoài đường tròn (O;R), kẻ hai tiếp tuyến MA, MB. Gọi H = OM ∩ AB. Chứng minh OH·OM = R².
Bài 3: Cho hai cát tuyến PAB và PCD của một đường tròn, các điểm A,C nằm gần P. Chứng minh PA·PB = PC·PD mà không dùng công thức có sẵn.
Bài 4: Trong tam giác ABC, AD là phân giác góc A, AB = 6, AC = 9, BC = 10. Tính BD, DC và AD.
Bài 5: Trong tam giác ABC, D∈BC, E∈CA, F∈AB. Biết BD/DC = 2/3, CE/EA = 3/4. Tìm AF/FB để AD, BE, CF đồng quy.
Bài 6: Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, AC = 8. Một hình chữ nhật có một đỉnh tại A, hai cạnh nằm trên AB, AC và đỉnh đối diện nằm trên BC. Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Vì ∠BEC = ∠BFC = 90° nên E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC; do đó BCEF nội tiếp. Từ điểm A có hai cát tuyến AEC và AFB của đường tròn này, theo định lí về sức mạnh của điểm A ta có AE·AC = AF·AB.
Bài 2: OA = OB và MA = MB nên OM là đường trung trực của AB, suy ra OM ⟂ AB tại H. Hai tam giác vuông OHA và OAM có góc AOH = AOM nên đồng dạng. Từ OH/OA = OA/OM suy ra OH·OM = OA² = R².
Bài 3: Nối AD và BC. Xét hai tam giác PAD và PCB. Góc APD bằng góc CPB vì cùng tạo bởi hai đường thẳng secant. Do P,A,B thẳng hàng và P,C,D thẳng hàng, ∠PAD và ∠PCB lần lượt bù với ∠BAD và ∠BCD; mà ∠BAD=∠BCD vì cùng chắn cung BD, nên ∠PAD=∠PCB. Hai tam giác PAD và PCB đồng dạng, suy ra PA/PC = PD/PB, hay PA·PB = PC·PD.
Bài 4: Theo định lí phân giác, BD:DC = AB:AC = 2:3. Vì BC = 10 nên BD = 4, DC = 6. Dùng hệ thức phân giác AD² = AB·AC − BD·DC = 6 × 9 − 4 × 6 = 30. Vậy AD = √30.
Bài 5: Theo định lí Ceva, (BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB) = 1. Hai tỉ số đầu cho (2/3)·(3/4) = 1/2, nên AF/FB = 2.
Bài 6: Gọi hai cạnh hình chữ nhật là x trên AB và y trên AC. Từ các tam giác đồng dạng có x/6 + y/8 = 1. Đặt x = 6u, y = 8v thì u + v = 1 và diện tích S = 48uv. Vì uv ≤ (u + v)²/4 = 1/4 nên S ≤ 12. Dấu bằng khi u = v = 1/2, tức x = 3, y = 4.
Tự kiểm tra sau khi giải
Với mỗi bài, hãy ghi trước chuyên đề chính và chuyên đề phụ. Một bài bồi dưỡng tốt thường không kết thúc ngay sau khi áp dụng một định lí đơn lẻ mà cần thêm ít nhất một bước nối dữ kiện.
Xem tài liệu