Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Đại số 9 được rà theo tiêu chí bài nâng cao THCS: Viète, tham số, căn thức và biến đổi biểu thức có liên kết giữa nhiều chương. Các ví dụ một bước được thay bằng bài cần biến đổi, xét điều kiện, chứng minh hoặc chặn miền nghiệm.
Điểm khó cần nhận ra
- Độ khó của chuyên đề đến từ Viète, tham số, căn thức và biến đổi biểu thức có liên kết giữa nhiều chương.
- Học sinh nên tự dự đoán kết quả hoặc phạm vi kết quả trước khi tính chi tiết.
- Sau khi giải xong cần thay ngược hoặc dùng một cách kiểm tra độc lập.
Đề bài
Bài 1: Cho x1,x2 là nghiệm của t² − 7t + 10 = 0. Tính x1³ + x2³ mà không tìm riêng từng nghiệm.
Bài 2: Tìm m để phương trình x² − 2(m + 1)x + m² − 4 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
Bài 3: Cho x>0, x≠1. Rút gọn A = (√x − 1)/(x − 1) + (x − 1)/(√x + 1)².
Bài 4: Cho a,b>0, a + b = 6. Tìm max ab(a² + b²).
Bài 5: Giải phương trình √(x + 6)+√(x − 3) = 5.
Bài 6: Cho phương trình x² − mx + m − 1 = 0 có hai nghiệm x1,x2. Tìm m để x1² + x2² = 10.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Theo Viète, S = x1 + x2 = 7, P = x1x2 = 10. x1³ + x2³ = S³ − 3PS = 343 − 210 = 133.
Bài 2: Tích hai nghiệm = m² − 4<0, nên − 2<m<2. Khi tích âm, hai nghiệm thực phân biệt và trái dấu.
Bài 3: Phân thức đầu = 1/(√x + 1). Phân thức sau = (√x − 1)(√x + 1)/(√x + 1)² = (√x − 1)/(√x + 1). Tổng=√x/(√x + 1).
Bài 4: Đặt p = ab≤9. a² + b² = 36 − 2p. Biểu thức f = p(36 − 2p) = 162 − 2(p − 9)²≤162. Max 162 khi a = b = 3.
Bài 5: Điều kiện x≥3. Đặt u=√(x + 6), v=√(x − 3). u + v = 5 và u² − v² = 9, nên (u − v)·5 = 9, u − v = 9/5. Giải u = 17/5,v = 8/5, suy ra x − 3 = 64/25, x = 139/25.
Bài 6: Theo Viète S = m, P = m − 1. Tổng bình phương = S² − 2P = m² − 2m + 2 = 10. Suy ra m² − 2m − 8 = 0, nên m = 4 hoặc − 2; cả hai cho biệt thức không âm.
Xem tài liệu