Nguyên hàm cơ bản và đổi biến lớp 12: Bài tập nâng cao có lời giải dành cho học sinh đã nắm chắc kiến thức lớp 12 và muốn luyện sâu bài tập nâng cao có lời giải. Các bài có yêu cầu suy ngược, biện luận, kiểm tra điều kiện hoặc kết nối nhiều kiến thức trong cùng chủ đề.
Trọng tâm tư duy
- Xác định miền xác định và cấu trúc của bài tập nâng cao có lời giải trước khi biến đổi.
- Trong Nguyên hàm cơ bản và đổi biến lớp 12: Bài tập nâng cao có lời giải, với tham số, cực trị hoặc xác suất phải nêu điều kiện để kết quả đạt được, không chỉ tính giá trị.
- Sau mỗi lời giải, kiểm tra nghiệm, dấu, miền hoặc giả thiết hình học trước khi chốt kết luận.
Đề bài
Bài 1: Tìm nguyên hàm của f(x) = 3x² − 4x + 1 rồi kiểm tra bằng đạo hàm.
Bài 2: Tính ∫ 2x/(x² + 3) dx.
Bài 3: Tính ∫ x√(x² + 1) dx.
Bài 4: Tính ∫ cos x/(2 + sin x) dx.
Bài 5: Trên khoảng x > −1, tìm nguyên hàm F của f(x) = 1/(x + 1), biết F(0) = 2.
Bài 6: Tính ∫(x + 1)e^{x² + 2x}dx.
Lời giải chi tiết
Bài 1: F = x³ − 2x² + x + C. Lấy đạo hàm F′ = 3x² − 4x + 1 đúng bằng f.
Bài 2: Đặt u = x² + 3, du = 2x dx. Kết quả ln(x² + 3) + C.
Bài 3: Đặt u = x² + 1, du = 2x dx. Tích phân bằng (1/2)∫u^{1/2}du = (1/3)(x² + 1)^{3/2} + C.
Bài 4: Đặt u = 2 + sin x, du = cos x dx. Kết quả ln(2 + sin x) + C vì 2 + sin x>0.
Bài 5: Trên khoảng x > −1, ta có x + 1 > 0 nên F(x) = ln(x + 1) + C. Từ F(0) = ln 1 + C = 2 suy ra C = 2. Vậy F(x) = ln(x + 1) + 2 với mọi x > −1. Kiểm tra: F′(x) = 1/(x + 1), đúng bằng f(x).
Bài 6: Đặt u = x² + 2x, du = 2(x + 1)dx. Kết quả (1/2)e^{x² + 2x} + C.