Suy luận cạnh–góc kết hợp định lý cos và bất đẳng thức tam giác.
Đề bài
Bài 1. Tam giác ABC có b=7, c=9, cos A=1/3. Tính a.
Bài 2. Cho tam giác với a=2x+1, b=x+4, c=9 và x>0. Tìm khoảng x để tồn tại tam giác.
Bài 3. Trong tam giác ABC có a²=b²+c²+bc. Chứng minh A=120°.
Bài 4. Cho tam giác có các cạnh x+2,x+3,2x+1 với x>0. Xác định x để tam giác không suy biến.
Lời giải chi tiết
Bài 1. a²=49+81−2·7·9/3=88; vậy a=2√22. Bộ cạnh hợp lệ vì |9−7|<2√22<16.
Bài 2. Điều kiện a+b>c: 3x+5>9 ⇒ x>4/3. Điều kiện a+c>b: 2x+10>x+4 luôn đúng vì x>0. Điều kiện b+c>a: x+13>2x+1 ⇒ x<12. Vậy 4/3<x<12.
Bài 3. Theo cos: a²=b²+c²−2bc cos A. So sánh suy ra −2bc cos A=bc, nên cos A=−1/2 (b,c>0), A=120°.
Bài 4. Điều kiện: (x+2)+(x+3)>2x+1 luôn đúng; (x+2)+(2x+1)>x+3 ⇔x>0; (x+3)+(2x+1)>x+2 ⇔x>−1. Vậy mọi x>0 đều cho tam giác không suy biến.
Lưu ý khi làm bài
Phương trình độ dài có thể sinh nghiệm hình thức không tạo được tam giác; phải kiểm tra a+b>c.