Đường tròn và hình học thi vào 10 lớp 9: tiếp tuyến và cát tuyến dành cho học sinh đã nắm chắc kiến thức lớp 9 và muốn luyện sâu tiếp tuyến và cát tuyến. Các bài có yêu cầu suy ngược, biện luận, kiểm tra điều kiện hoặc kết nối nhiều kiến thức trong cùng chủ đề.
Trọng tâm tư duy
- Xác định định lí, tính chất hoặc phép biến đổi trung tâm của tiếp tuyến và cát tuyến.
- Không bỏ qua điều kiện xác định, dấu, tính chia hết hoặc cấu hình hình học khi kết luận.
- Ưu tiên lời giải ngắn có lí do; nếu có nhiều trường hợp phải chỉ rõ vì sao đã xét đủ.
Đề bài
Bài 1: Hai tiếp tuyến MA, MB từ M đến đường tròn. Chứng minh OM là đường trung trực của AB. Trình bày bước suy luận mấu chốt trước phép tính cuối cùng. Trình bày theo trọng tâm Đường tròn và hình học thi vào 10 lớp 9: tiếp tuyến và cát tuyến.
Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp, ∠A = 72°. Tính ∠C. Nếu ∠B = 95° thì ∠D bằng bao nhiêu? Trong lời giải, nêu rõ tính chất hoặc phép biến đổi quyết định. Trình bày theo trọng tâm Đường tròn và hình học thi vào 10 lớp 9: tiếp tuyến và cát tuyến.
Bài 3: Trong đường tròn tâm O, bán kính 5 cm, dây AB cách tâm 3 cm. Tính AB. Sau khi giải, đối chiếu lại nghiệm hoặc kết luận với điều kiện ban đầu. Trình bày theo trọng tâm Đường tròn và hình học thi vào 10 lớp 9: tiếp tuyến và cát tuyến.
Bài 4: Từ M ngoài đường tròn có MA, MB là tiếp tuyến. Nếu ∠AMB = 50°, tính ∠AOB. Trình bày bước suy luận mấu chốt trước phép tính cuối cùng. Trình bày theo trọng tâm Đường tròn và hình học thi vào 10 lớp 9: tiếp tuyến và cát tuyến.
Bài 5: Từ M ngoài đường tròn, kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB. Biết MA = 4, MB = 9. Tính MT. Trong lời giải, nêu rõ tính chất hoặc phép biến đổi quyết định. Trình bày theo trọng tâm Đường tròn và hình học thi vào 10 lớp 9: tiếp tuyến và cát tuyến.
Bài 6: Góc ở tâm AOB = 120°. Tính góc nội tiếp ACB cùng chắn cung nhỏ AB và giải thích nếu C nằm trên cung lớn. Sau khi giải, đối chiếu lại nghiệm hoặc kết luận với điều kiện ban đầu. Trình bày theo trọng tâm Đường tròn và hình học thi vào 10 lớp 9: tiếp tuyến và cát tuyến.
Lời giải chi tiết
Bài 1: OA = OB là bán kính, MA = MB là hai tiếp tuyến từ một điểm. O và M cùng cách đều A, B nên đường OM là đường trung trực của AB.
Bài 2: Hai góc đối tứ giác nội tiếp bù nhau. C = 108°, D = 85°.
Bài 3: Đường vuông góc từ O đến AB đi qua trung điểm H. AH = √(5² − 3²) = 4, nên AB = 8 cm.
Bài 4: Tứ giác AOMB có A = B = 90°. Tổng góc 360° nên ∠AOB = 360 − 90 − 90 − 50 = 130°.
Bài 5: Theo định lí tiếp tuyến–cát tuyến: MT² = MA·MB = 36, nên MT = 6.
Bài 6: Góc nội tiếp chắn cùng cung bằng nửa góc ở tâm, nên ∠ACB = 60° khi C nằm trên cung lớn để chắn cung nhỏ AB.
Tự kiểm tra và mở rộng
Sau khi hoàn thành Đường tròn và hình học thi vào 10 lớp 9: tiếp tuyến và cát tuyến, nên quay lại Bài 6 để ghi riêng giả thiết, kết luận và bước suy luận không thể bỏ. Ở Bài 1, thử thay một dữ kiện nhỏ rồi dự đoán tính chất nào còn đúng trước khi giải lại. Với bài phương trình hoặc số học, kiểm tra nghiệm và điều kiện; với hình học, chỉ dùng các quan hệ đã được chứng minh. Đây là cách phát hiện lời giải đúng do suy luận chứ không phải do đoán trúng.