Trong Hệ phương trình và viète lớp 9: Bài tập nâng cao có lời giải, mỗi câu được xây theo hướng phân loại: học sinh phải nhận ra cấu trúc của bài tập nâng cao có lời giải, giải thích bước mấu chốt rồi mới tính. Lời giải đi từ điều kiện của đề đến kết luận, không chỉ ghi đáp số.
Trọng tâm tư duy
- Xác định định lí, tính chất hoặc phép biến đổi trung tâm của bài tập nâng cao có lời giải.
- Không bỏ qua điều kiện xác định, dấu, tính chia hết hoặc cấu hình hình học khi kết luận.
- Ưu tiên lời giải ngắn có lí do; nếu có nhiều trường hợp phải chỉ rõ vì sao đã xét đủ.
Đề bài
Bài 1: Giải hệ x + y = 9, xy = 14 mà không dùng phép thế trực tiếp.
Bài 2: Cho x₁, x₂ là nghiệm của x² − 7x + 5 = 0. Không giải phương trình, tính x₁² + x₂² và 1/x₁ + 1/x₂.
Bài 3: Tìm m để hệ x + y = m, xy = 6 có hai nghiệm nguyên dương.
Bài 4: Biết x, y dương, x + y = 10 và 1/x + 1/y = 5/12. Tìm x, y.
Bài 5: Cho phương trình x² − 6x + m = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa x₁² + x₂² = 20. Tìm m.
Bài 6: Hai số có tổng 13. Tổng bình phương của chúng bằng 85. Tìm hai số bằng cách dùng hệ thức tổng – tích.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Xem x, y là hai nghiệm của t² − 9t + 14 = 0. Phương trình có nghiệm 2 và 7, nên hệ có hai cặp (2;7), (7;2).
Bài 2: Theo Viète, S = 7, P = 5. x₁² + x₂² = S² − 2P = 39; 1/x₁ + 1/x₂ = S/P = 7/5.
Bài 3: x, y là các ước dương ghép cặp của 6: (1, 6), (2, 3) và đổi chỗ. Do đó m = 7 hoặc m = 5.
Bài 4: (x + y)/(xy) = 5/12 nên 10/(xy) = 5/12, suy ra xy = 24. x, y là nghiệm t² − 10t + 24 = 0, nên {4, 6}.
Bài 5: Theo Viète S = 6, P = m. S² − 2P = 20 nên 36 − 2m = 20, m = 8. Khi đó Δ = 4 > 0, đúng là có hai nghiệm.
Bài 6: (x + y)² = x² + y² + 2xy cho 169 = 85 + 2xy, nên xy = 42. Hai số là nghiệm t² − 13t + 42 = 0: 6 và 7.
Tự kiểm tra và mở rộng
Sau khi hoàn thành Hệ phương trình và viète lớp 9: Bài tập nâng cao có lời giải, nên quay lại Bài 2 để ghi riêng giả thiết, kết luận và bước suy luận không thể bỏ. Ở Bài 6, thử thay một dữ kiện nhỏ rồi dự đoán tính chất nào còn đúng trước khi giải lại. Với bài phương trình hoặc số học, kiểm tra nghiệm và điều kiện; với hình học, chỉ dùng các quan hệ đã được chứng minh. Đây là cách phát hiện lời giải đúng do suy luận chứ không phải do đoán trúng.