Chuyên đề cực trị biểu thức đại số lớp 8 – Bài tập nâng cao có lời giải tập trung vào đa thức, hằng đẳng thức và bất đẳng thức.
Phương pháp cần nhớ
- Nhận diện hiệu hai bình phương, bình phương một tổng hoặc một hiệu để biến đổi đúng.
- Khi tìm cực trị, đưa biểu thức về một bình phương không âm cộng hoặc trừ hằng số.
- Tìm điều kiện xảy ra dấu bằng trước khi kết luận giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Đề bài
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x − 4)² + (y + 1)² + 7 với x, y là các số thực.
Bài 2: Hai số thực x, y có tổng bằng 8. Chứng minh tích xy không vượt quá 16 và tìm khi nào đạt được.
Bài 3: Tìm tất cả số nguyên x thỏa mãn x² − 7x + 10 = 0.
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của 3x² − 18x + 32.
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của B = −x² + 6x − 1 và giá trị x tương ứng.
Bài 6: Cho hai số dương a, b có tích ab = 9. Chứng minh a + b ≥ 6 và chỉ ra trường hợp bằng.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Hai bình phương đều không âm, nên A ≥ 7. Dấu bằng xảy ra khi x = 4 và y = −1; giá trị nhỏ nhất là 7.
Bài 2: Từ (x − y)² ≥ 0 suy ra (x + y)² ≥ 4xy. Vì x + y = 8 nên 64 ≥ 4xy hay xy ≤ 16. Dấu bằng khi x = y = 4.
Bài 3: Phân tích x² − 7x + 10 = (x − 5)(x − 2). Tích bằng 0 khi x = 5 hoặc x = 2; cả hai đều là số nguyên và thỏa mãn.
Bài 4: Ta có 3x² − 18x + 32 = 3(x − 3)² + 5 ≥ 5. Giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi x = 3.
Bài 5: B = 8 − (x − 3)² ≤ 8. Giá trị lớn nhất bằng 8 khi x = 3.
Bài 6: (a − b)² ≥ 0 nên (a + b)² ≥ 4ab = 36. Vì a, b dương nên a + b ≥ 6. Dấu bằng khi a = b = 3.