Tối ưu hình học tiểu học lớp 5 rèn cách tìm phương án lớn nhất hoặc nhỏ nhất bằng so sánh có hệ thống, thay vì dùng đạo hàm hay kiến thức lớp trên. Các kích thước đều là số tự nhiên để học sinh có thể lập bảng trường hợp và nhận ra quy luật.
Mấu chốt cần nhận ra
- Với chu vi cố định, hình chữ nhật càng gần hình vuông thì diện tích càng lớn.
- Khi ghép các hình, dùng chung càng nhiều cạnh thì chu vi hình ghép càng nhỏ.
- Bài tối ưu tiểu học nên chứng minh bằng liệt kê hợp lí hoặc biến đổi đơn giản, không dùng công cụ đại số vượt cấp.
Đề bài
Bài 1: Một hình chữ nhật có chu vi 40 cm, chiều dài và chiều rộng là số tự nhiên. Tìm kích thước để diện tích lớn nhất.
Bài 2: Có 24 ô vuông đơn vị. Ghép thành một hình chữ nhật không thừa ô. Hỏi chu vi nhỏ nhất có thể là bao nhiêu?
Bài 3: Ghép 6 hình vuông cạnh 1 cm thành một hình liền nhau theo các cạnh. Tìm cách ghép để chu vi nhỏ nhất và cho biết chu vi đó.
Bài 4: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng là số tự nhiên, tổng hai kích thước bằng 18 m. Tìm diện tích lớn nhất.
Bài 5: Có 36 m hàng rào để rào ba cạnh của một mảnh vườn hình chữ nhật, cạnh còn lại tựa vào tường. Nếu các kích thước là số tự nhiên, chọn chiều rộng vuông góc tường thế nào để diện tích lớn nhất?
Bài 6: Một hình chữ nhật có diện tích 48 cm² và hai cạnh là số tự nhiên. Trong các cách chọn, cách nào cho chu vi nhỏ nhất?
Bài 7: Có 20 que dài bằng nhau để xếp đường bao của một hình chữ nhật, mỗi cạnh dùng một số nguyên que. Tìm số que ở chiều dài và chiều rộng để số ô vuông đơn vị bên trong lớn nhất.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Nửa chu vi là 20 nên xét các cặp (1,19), (2,18), …, (10,10). Tích lớn nhất đạt khi hai số gần nhau nhất, tức 10 × 10 = 100 cm². Hình tối ưu là hình vuông 10 cm × 10 cm.
Bài 2: Các cặp cạnh nguyên có tích 24 là 1×24, 2×12, 3×8, 4×6. Chu vi tương ứng 50, 28, 22, 20 cm. Nhỏ nhất là hình 4×6, chu vi 20 cm.
Bài 3: Xếp 6 ô thành hình chữ nhật 2×3. Chu vi là 2 × (2 + 3) = 10 cm. Các cách kéo dài thành 1×6 cho chu vi 14 cm; hình 2×3 dùng nhiều cạnh chung hơn nên đạt nhỏ nhất 10 cm.
Bài 4: Ta cần hai số tự nhiên có tổng 18 và tích lớn nhất. Các cặp gần nhau nhất là 9 và 9, diện tích 81 m².
Bài 5: Gọi chiều rộng là w thì chiều dài dọc tường dùng phần rào còn lại 36 − 2w. Lập bảng w = 1 đến 8: diện tích tăng dần; w=9 cho chiều dài 18 và diện tích 162 m²; sau đó giảm đối xứng. Vậy rộng 9 m, dài 18 m.
Bài 6: Các cặp cạnh là 1×48, 2×24, 3×16, 4×12, 6×8. Chu vi nhỏ nhất ở cặp gần nhau nhất 6×8: 2 × 14 = 28 cm.
Bài 7: Chu vi 20 que nên chiều dài + chiều rộng = 10. Tích lớn nhất khi hai số gần nhau nhất: 5 và 5. Số ô vuông đơn vị bên trong là 25.