Phương trình nghiệm nguyên và bất đẳng thức HSG Đại số 9 kết hợp phân tích thành nhân tử, chặn bằng bình phương không âm và xét tính chia hết để giải phương trình nghiệm nguyên. Các bài yêu cầu chứng minh miền nghiệm trước khi thử giá trị.
Phương pháp cần nhớ
- Biến đổi phương trình về tích bằng một hằng số khi có thể để số trường hợp hữu hạn.
- Dùng bình phương không âm để chặn tổng hoặc tích và thu hẹp biến nguyên.
- Sau khi tìm cặp ước, phải kiểm tra điều kiện nguyên, dấu và điều kiện ban đầu.
Đề bài
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của xy − x − y = 2.
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của x² − y² = 45.
Bài 3: Tìm x,y nguyên dương thỏa x+y=12 và xy lớn nhất.
Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của x² + y² = 25.
Bài 5: Chứng minh với x,y thực: x²+y² ≥ 2xy; từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của x²+y² khi x+y=10.
Bài 6: Tìm nghiệm nguyên dương của 1/x + 1/y = 1/4.
Bài 7: Tìm số nguyên x để x²−5x+6 ≤ 0.
Bài 8: Tìm nghiệm nguyên của x²−4y²=21.
Bài 9: Tìm nghiệm nguyên của xy−x−y=0.
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của x²−4x+y²+6y+20.
Bài 11: Tìm nghiệm nguyên của x²+y²=5.
Lời giải chi tiết
Bài 1: xy−x−y=2. Cộng 1 hai vế: (x−1)(y−1)=3. Các cặp ước nguyên của 3 là (1,3),(3,1),(−1,−3),(−3,−1). Suy ra (x,y)=(2,4),(4,2),(0,−2),(−2,0).
Bài 2: (x−y)(x+y)=45. Hai thừa số cùng parity; 45 lẻ nên cả hai lẻ. Xét các cặp ước (1,45),(3,15),(5,9) và các cặp âm. Từ đó nhận các nghiệm (±23,±22), (±9,±6), (±7,±2) với dấu ghép phù hợp để tích 45.
Bài 3: xy=x(12−x)=−(x−6)²+36 nên lớn nhất 36 khi x=y=6.
Bài 4: Vì |x|,|y|≤5, xét các bình phương 0,1,4,9,16,25. Các cách cộng được 25 là 0+25 và 9+16. Nghiệm gồm (0,±5),(±5,0),(±3,±4),(±4,±3).
Bài 5: Từ (x−y)²≥0 suy ra x²+y²≥2xy. Lại (x+y)²=x²+y²+2xy≤2(x²+y²), nên x²+y²≥(x+y)²/2=50. Giá trị nhỏ nhất 50 khi x=y=5.
Bài 6: 1/x+1/y=1/4 ⇒4x+4y=xy ⇒xy−4x−4y=0 ⇒(x−4)(y−4)=16. Với x,y dương, xét các ước dương 1,2,4,8,16. Nghiệm: (5,20),(6,12),(8,8),(12,6),(20,5).
Bài 7: x²−5x+6=(x−2)(x−3)≤0 nên x nằm từ 2 đến 3. Với x nguyên: x=2 hoặc3.
Bài 8: (x−2y)(x+2y)=21. Xét các cặp ước cùng parity của 21: (1,21),(3,7) và các cặp âm/đổi thứ tự. Giải từng hệ cho nghiệm (±11,±5),(±5,±1) với dấu tương ứng.
Bài 9: Cộng 1 hai vế: (x−1)(y−1)=1. Hai cặp ước nguyên của 1 là (1,1) và (−1,−1), suy ra (x,y)=(2,2) hoặc (0,0).
Bài 10: Biến đổi thành (x−2)²+(y+3)²+7. Hai bình phương không âm nên giá trị nhỏ nhất là 7, đạt tại x=2,y=−3.
Bài 11: Các bình phương không vượt 5 là 0,1,4. Tổng bằng 5 chỉ có 1+4, nên nghiệm là (±1,±2) và (±2,±1).
Chiến lược tìm nghiệm nguyên
Không nên thử giá trị ngay từ đầu nếu biến chưa được chặn. Một biến đổi tốt thường đưa phương trình về tích của hai số nguyên bằng một hằng số; khi đó chỉ cần xét hữu hạn các cặp ước. Nếu phương trình có tổng bình phương, hãy dùng điều kiện không âm để giới hạn giá trị có thể xảy ra. Sau khi có danh sách ứng viên, phải thế lại phương trình ban đầu vì bước phân tích hoặc chia có thể kèm điều kiện. Với bài bất đẳng thức, điều kiện xảy ra dấu bằng giúp kiểm tra xem giá trị cực trị vừa tìm có thật sự đạt được hay chỉ là một cận.
Bài học liên quan
