Giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp chia hết được nâng lại đúng mức bồi dưỡng: đưa phương trình về tích bằng hằng số rồi xét các ước nguyên. Mỗi bài đều có một ý tưởng khóa; phép biến đổi chỉ được dùng khi phục vụ trực tiếp cho ý tưởng đó.
Điểm khó cần nhận ra
- Bài được chọn để rèn đưa phương trình về tích bằng hằng số rồi xét các ước nguyên.
- Ưu tiên cách giải ngắn nhưng phải nêu được nhận xét quyết định.
- Không dùng kiến thức của lớp trên chỉ để làm số liệu trông khó hơn.
Đề bài
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của xy − 2x − 3y = 6.
Bài 2: Tìm x∈Z để (3x + 5)/(x − 2) là số nguyên.
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương của 1/x + 1/y = 1/4.
Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của x² − y² = 45.
Bài 5: Tìm các số nguyên x để x + 5 chia hết x − 2.
Bài 6: Tìm nghiệm nguyên dương xy = x + y + 11.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Biến đổi (x − 3)(y − 2) = 12. Với mỗi ước nguyên d của 12, lấy x − 3 = d và y − 2 = 12/d. Như vậy bài toán được đưa về xét hữu hạn các ước của 12.
Bài 2: 3x + 5 = 3(x − 2) + 11 nên phân thức = 3 + 11/(x − 2). Cần x − 2 là ước của 11: ±1,±11. Suy ra x = 3, 1, 13,−9.
Bài 3: 4x + 4y = xy. Chuyển thành (x − 4)(y − 4) = 16. Xét các cặp ước dương của 16: (1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1), được (5,20),(6,12),(8,8),(12,6),(20,5).
Bài 4: Ta có (x − y)(x + y) = 45. Vì 45 lẻ nên hai thừa số đều lẻ. Xét các cặp ước có tích 45: (1,45),(3,15),(5,9) và các cặp đổi dấu/đổi thứ tự. Với (x − y,x + y) = (1,45) được (x,y) = (23,22); (3,15) được (9,6); (5,9) được (7,2). Đổi dấu cho cả hai thừa số cho các nghiệm đối; đổi vị trí hai thừa số tương ứng đổi dấu y. Vì vậy các nghiệm là (±23,±22), (±9,±6), (±7,±2) với các dấu của y được chọn sao cho x² − y² = 45; cụ thể x=±23,y=±22; x=±9,y=±6; x=±7,y=±2.
Bài 5: x + 5 = (x − 2) + 7. Cần x − 2 là ước của 7, nên x − 2∈{±1,±7}; x = 3, 1, 9,−5.
Bài 6: Cộng 1: (x − 1)(y − 1) = 12. Xét các cặp ước dương của 12, được (x,y) = (2,13),(3,7),(4,5),(5,4),(7,3),(13,2).
Hình minh họa
