Một bảng số liệu có thể cho trung bình, trung vị và mốt khác nhau. Các bài dưới đây yêu cầu sắp xếp số liệu, đếm tần số và tính trung bình có trọng số.
Phương pháp cần nhớ
- Đếm tổng số quan sát hoặc tổng số kết quả đồng khả năng trước khi tính.
- Với bảng số liệu, phân biệt trung bình, trung vị, mốt và tần suất của một giá trị.
- Với xác suất, nêu rõ số trường hợp thuận lợi và số trường hợp có thể xảy ra.
Đề bài
Bài 1: Dữ liệu [5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9]. Tính trung bình, trung vị và mốt; giải thích vì sao ba đại lượng có thể khác nhau.
Bài 2: Một bảng tần số có giá trị 1, 2, 3, 4 với tần số 2, 5, 3, 1. Tính tổng số quan sát và trung bình.
Bài 3: Một đồng xu được tung 80 lần và xuất hiện mặt ngửa 46 lần. Tính xác suất thực nghiệm; nếu tung thêm 20 lần có 8 lần ngửa thì xác suất thực nghiệm mới là bao nhiêu? Trong lời giải, nêu rõ tính chất hoặc phép biến đổi quyết định.
Bài 4: Một biểu đồ cho hai nhóm có cùng trung bình nhưng một nhóm có số liệu tập trung hơn quanh trung bình. Có thể chỉ nhìn trung bình để kết luận hai nhóm giống nhau không?
Bài 5: Có 30 học sinh, trong đó 12 chọn phương án A, 8 chọn B, còn lại chọn C. Lập tần số và tần suất phần trăm của mỗi phương án.
Bài 6: Một dãy số liệu có trung bình 12. Nếu cộng 3 vào mọi giá trị thì trung bình mới là bao nhiêu? Nếu chỉ cộng 3 vào một giá trị thì có kết luận như vậy không? Trong lời giải, nêu rõ tính chất hoặc phép biến đổi quyết định.
Bài 7: Dữ liệu 4, 5, 5, 6, 8, 8, 8, 9. Tính trung bình, trung vị và mốt.
Bài 8: Thêm một giá trị x vào dữ liệu trên để trung bình mới bằng7. Tìm x.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Tổng 64, có 9 giá trị nên trung bình 64/9. Trung vị là 7. Mốt là 7 vì xuất hiện nhiều nhất.
Bài 2: Tổng quan sát 11. Tổng có trọng số =1 × 2 + 2 × 5 + 3 × 3 + 4 × 1 = 25. Trung bình bằng 25/11.
Bài 3: Ban đầu 46/80 = 23/40. Sau thêm có 54 lần ngửa trên 100 lần, bằng 0,54.
Bài 4: Không. Trung bình chỉ mô tả mức trung tâm; phân bố và độ phân tán có thể khác. Cần xem thêm bảng/biểu đồ, khoảng biến thiên hoặc các đặc trưng phù hợp.
Bài 5: Tần số C bằng tổng trừ A và B. Tần suất mỗi phương án bằng tần số chia tổng rồi nhân 100%. Cần kiểm tra ba tần suất cộng lại 100%.
Bài 6: Cộng 3 vào mọi giá trị làm trung bình tăng đúng 3, thành 15. Nếu chỉ thay một giá trị thì mức tăng của trung bình là 3 chia cho số lượng quan sát, nên không thể kết luận tăng 3.
Bài 7: Tổng53, trung bình53/8 = 6, 625. Trung vị = (6 + 8)/2 = 7. Mốt8.
Bài 8: Tổng mới phải9 × 7 = 63. Tổng cũ53 nên x = 10.