Sáu bài toán lớp 7 về căn bậc hai số học, thứ tự số thực, giá trị tuyệt đối và chứng minh số vô tỉ. Mỗi kết luận được kiểm tra bằng phép biến đổi hợp lệ.
Trọng tâm tư duy
- Chỉ bình phương hai vế của một bất đẳng thức khi cả hai vế không âm.
- Với căn bậc hai số học, kết quả luôn không âm; tách nhân tử chính phương trước khi so sánh.
- Khi dùng phản chứng về tính vô tỉ, giả sử phân số đã ở dạng tối giản.
Đề bài
Bài 1: Không dùng máy tính, so sánh 3√7 và 8.
Bài 2: Tìm các số hữu tỉ x thỏa mãn |2x − 1| = 7/3.
Bài 3: Tính chính xác A = √(49/81) + √(25/36) − 1/6.
Bài 4: Tìm mọi số nguyên n trong khoảng từ 1 đến 25 sao cho √(n + 4) là số nguyên.
Bài 5: Chứng minh 7 < 3√7 < 8 mà không dùng giá trị gần đúng của √7.
Bài 6: Chứng minh √5 là số vô tỉ.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Vì 3√7 và 8 đều dương, so sánh bình phương: (3√7)² = 63 và 8² = 64. Do 63 < 64 nên 3√7 < 8.
Bài 2: Ta có 2x − 1 = 7/3 hoặc 2x − 1 = −7/3. Trường hợp đầu cho 2x = 10/3, x = 5/3; trường hợp sau cho 2x = −4/3, x = −2/3. Cả hai đều thỏa mãn.
Bài 3: Các căn đều là căn bậc hai số học: √(49/81) = 7/9, √(25/36) = 5/6. Vì thế A = 7/9 + 5/6 − 1/6 = 7/9 + 2/3 = 13/9.
Bài 4: Đặt √(n + 4) = k nguyên không âm, khi đó n = k² − 4. Điều kiện 1 ≤ n ≤ 25 cho 5 ≤ k² ≤ 29, suy ra k = 3, 4 hoặc 5. Vậy n lần lượt là 5, 12, 21.
Bài 5: Các số đều không âm. Vì 7² = 49 < (3√7)² = 63 < 8² = 64 nên 7 < 3√7 < 8.
Bài 6: Giả sử √5 = a/b với a, b là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Khi đó a² = 5b², nên a² chia hết cho 5 và a chia hết cho 5. Đặt a = 5k, suy ra 25k² = 5b² hay b² = 5k², nên b cũng chia hết cho 5. Trái với giả thiết a và b nguyên tố cùng nhau. Vậy √5 vô tỉ.