Phương pháp quy nạp trong bài toán bồi dưỡng HSG lớp 7 giới thiệu quy nạp như một công cụ bồi dưỡng HSG, không coi đây là nội dung bắt buộc của chương trình lớp 7. Bài tập chọn các mệnh đề số học dễ kiểm chứng nhưng có bước n→n + 1 rõ ràng.
Điểm khó cần nhận ra
Một chứng minh quy nạp gồm hai phần không thể thiếu: mốc đầu và bước truyền. Ở bước truyền phải thực sự sử dụng giả thiết quy nạp.
Đề bài
Bài 1: Chứng minh 1 + 2+…+n = n(n + 1)/2 với n≥1.
Bài 2: Chứng minh 1 + 3 + 5+…+(2n − 1) = n².
Bài 3: Chứng minh 2^n≥n + 1 với n≥1.
Bài 4: Chứng minh 7^n − 1 chia hết 6 với n≥1 bằng quy nạp.
Lời giải chi tiết
Bài 1: n = 1 đúng. Giả sử đúng với n = k. Khi đó S_(k + 1) = k(k + 1)/2 + (k + 1) = (k + 1)(k + 2)/2, đúng cho k + 1.
Bài 2: n = 1 đúng. Nếu tổng n số đầu = n² thì cộng số lẻ tiếp theo 2n + 1 được n² + 2n + 1 = (n + 1)².
Bài 3: n = 1:2 = 2. Giả sử 2^k≥k + 1; khi đó 2^(k + 1)≥2k + 2≥k + 2.
Bài 4: n = 1 đúng. Nếu 7^k − 1 = 6m thì 7^(k + 1) − 1 = 7(7^k − 1) + 6 = 6(7m + 1), chia hết 6.
Nhận xét
Quy nạp không thay cho mọi chứng minh. Với bài có cách nhân tử hoặc xét chia hết trực tiếp ngắn hơn, nên ưu tiên cách tự nhiên hơn.
Hình minh họa
