Đề bài: Anh Bắc muốn mua một chiếc xe máy có giá 35 triệu đồng. Anh quyết định để dành tiền bằng cách mở một sổ tiết kiệm tích luỹ kỳ hạn 12 tháng tại ngân hàng với lãi suất là 3,24%/năm. Hàng tháng anh sẽ nạp thêm một khoản tiền cố định không đổi vào sổ tiết kiệm. Tiền lãi được tính theo tháng và được cộng vào tiền gốc của tháng sau.
Sau đúng 1 năm, anh Bắc đã có đủ 35 triệu đồng để mua xe. Hỏi mỗi tháng anh phải gửi tích lũy bao nhiêu tiền?
Hướng dẫn giải:
*Nhận xét: Đây là một bài toán thực tế rất phổ biến thuộc dạng toán lãi kép (cụ thể là bài toán gửi tiền tiết kiệm định kỳ).
Lời giải chi tiết
Bước 1: Tóm tắt và quy đổi dữ kiện
- Tổng số tiền cần có sau 1 năm ($S$): $35000000$ đồng.
- Lãi suất năm: $3,24\%$/năm.
- Lãi suất tháng ($r$): $\dfrac{3,24\%}{12} = 0,27\%/\text{tháng} = 0,0027$.
- Kỳ hạn gửi ($n$): 1 năm = $12$ tháng.
- Gọi số tiền anh Bắc cần gửi cố định vào đầu mỗi tháng là $A$ (đồng) ($A > 0$).
Bước 2: Xây dựng công thức tính tổng tiền
Đây là bài toán gửi tiền tích luỹ đều đặn hàng tháng (gửi vào đầu mỗi tháng). Sau 12 tháng, số tiền tổng cộng anh Bắc nhận được bao gồm cả gốc lẫn lãi của từng khoản gửi hàng tháng:
- Khoản gửi tháng thứ 1 sinh lãi trong 12 tháng: $A(1 + r)^{12}$
- Khoản gửi tháng thứ 2 sinh lãi trong 11 tháng: $A(1 + r)^{11}$
- …
- Khoản gửi tháng thứ 12 sinh lãi trong 1 tháng: $A(1 + r)^1$
Tổng số tiền nhận được sau 12 tháng là cấp số nhân:
$S = A(1+r)^{12} + A(1+r)^{11} + … + A(1+r)^1$
Áp dụng công thức tổng cấp số nhân, ta có công thức chung:
$S = \dfrac{A(1 + r) \left[ (1 + r)^n – 1 \right]}{r}$
Bước 3: Thay số và tính toán
Thay các dữ kiện vào công thức:
$35000000 = \dfrac{A(1 + 0,0027) \left[ (1 + 0,0027)^{12} – 1 \right]}{0,0027}$
$35000000 = A \cdot \dfrac{1,0027 \left[ (1,0027)^{12} – 1 \right]}{0,0027}$
Sử dụng máy tính bỏ túi để tính cụm hệ số của $A$:
$\dfrac{1,0027 \cdot (1,032885 – 1)}{0,0027} \approx 12,2127$
Khi đó:
$35000000 \approx A \cdot 12,2127$
$A = \dfrac{35000000}{12,2127} \approx 2865869$
Kết luận: Mỗi tháng anh Bắc cần gửi tích lũy khoảng 2865869 đồng (làm tròn thành 2866000 đồng) để sau 1 năm có đủ 35 triệu đồng mua xe máy.