Giải bài toán “Chứng minh chia hết” – Đề thi HSG Toán 8 (2025-2026) phường Trường Vinh, Nghệ An được trình bày theo đúng dữ kiện của bài thi; trọng tâm là chỉ ra bước khóa thay vì kéo dài phép tính.
Đề bài
Cho n là tích của ba số nguyên tố phân biệt. Tổng tất cả các ước dương của n bằng 2n − 16. Chứng minh n − 8 chia hết cho 6.
Phân tích
Viết n = pqr và dùng công thức tổng ước. Chẵn–lẻ sẽ buộc một số nguyên tố bằng 2; sau đó phương trình còn lại phân tích được thành tích bằng 28.
Lời giải chi tiết
Bước 1. Gọi n = pqr với p<q<r là ba số nguyên tố phân biệt. Khi đó tổng các ước dương bằng (p + 1)(q + 1)(r + 1), nên (p + 1)(q + 1)(r + 1) = 2pqr − 16.
Bước 2. Nếu p,q,r đều lẻ thì vế trái chia hết cho 8; còn 2pqr − 16 = 2(pqr − 8), mà pqr − 8 lẻ, nên vế phải chỉ có đúng một thừa số 2. Mâu thuẫn. Vì vậy p = 2.
Bước 3. Thay p = 2: 3(q + 1)(r + 1) = 4qr − 16. Rút gọn được qr − 3q − 3r = 19, hay (q − 3)(r − 3) = 28.
Bước 4. q,r là nguyên tố lẻ nên q − 3,r − 3 đều chẵn. Trong các cặp ước dương của 28, chỉ (2,14) có cả hai thừa số chẵn và đúng thứ tự q<r. Do đó q = 5,r = 17.
Bước 5. Suy ra n = 2·5·17 = 170, nên n − 8 = 162 = 6·27. Vậy n − 8 chia hết cho 6.
Điểm cần nhớ
- Công thức tổng ước của tích các nguyên tố phân biệt là tích (p + 1)(q + 1)…
- Chẵn–lẻ giúp xác định ngay thừa số nguyên tố 2.
- Phân tích thành tích hằng số giúp xét hữu hạn trường hợp.
Bài luyện tương tự
Gợi ý/lời giải: Các ước là 1,p,q,pq nên tổng = (p + 1)(q + 1).