Giải bài toán “Tìm số nguyên dương” – Đề thi HSG Toán 8 (2025-2026) phường Trường Vinh, Nghệ An được trình bày theo đúng dữ kiện của bài thi; trọng tâm là chỉ ra bước khóa thay vì kéo dài phép tính.
Đề bài
Tìm số nguyên dương x sao cho x² + x + 10 là một số chính phương.
Phân tích
Đặt biểu thức bằng y² rồi hoàn thành bình phương. Sau khi đưa về hiệu hai bình phương, điều kiện nguyên dương biến bài toán thành xét các cặp ước của 39.
Lời giải chi tiết
Bước 1. Đặt x² + x + 10 = y² với y nguyên dương. Nhân 4: 4x² + 4x + 40 = 4y².
Bước 2. Viết 4x² + 4x + 40 = (2x + 1)² + 39, nên (2y)² − (2x + 1)² = 39.
Bước 3. Phân tích: (2y − 2x − 1)(2y + 2x + 1) = 39. Hai thừa số dương và thừa số thứ hai lớn hơn.
Bước 4. Các cặp ước dương của 39 là (1,39) và (3,13). Lấy phương trình thứ hai trừ thứ nhất: với (1,39), 4x + 2 = 38 nên x = 9; với (3,13), 4x + 2 = 10 nên x = 2.
Bước 5. Thử lại: 9² + 9 + 10 = 100, 2² + 2 + 10 = 16. Vậy x = 2 hoặc x = 9.
Điểm cần nhớ
- Hoàn thành bình phương để xuất hiện hiệu hai bình phương.
- Xét đủ các cặp ước là bước chứng minh không còn nghiệm khác.
- Luôn thử lại nghiệm vào biểu thức ban đầu.
Bài luyện tương tự
Gợi ý/lời giải: Nhân 4 và hoàn thành bình phương: (2y − 2x − 1)(2y + 2x + 1) = 15; xét các cặp ước dương của 15.