Các bài tích phân xác định yêu cầu tìm nguyên hàm, thay cận và kiểm tra dấu của kết quả trong từng trường hợp.
Trọng tâm tư duy
- Xác định miền xác định và cấu trúc của tích phân xác định trước khi biến đổi.
- Trong Nguyên hàm và tích phân lớp 12: tích phân xác định, với tham số, cực trị hoặc xác suất phải nêu điều kiện để kết quả đạt được, không chỉ tính giá trị.
- Sau mỗi lời giải, kiểm tra nghiệm, dấu, miền hoặc giả thiết hình học trước khi chốt kết luận.
Đề bài
Bài 1: Tính ∫₀¹ x e^{x²} dx.
Bài 2: Tính ∫₀^{π/2} sin x cos x dx.
Bài 3: Tìm a>1 biết ∫₁^a 1/x dx = ln4.
Bài 4: Tính ∫₀² |x − 1| dx bằng cách tách khoảng.
Bài 5: Biết ∫₀¹f(x)dx = 2 và ∫₁³f(x)dx = −1. Tính ∫₀³f(x)dx.
Bài 6: Tính I = ∫₀¹ 1/(1 + x)² dx.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Đặt u = x², du = 2x dx. Kết quả (1/2)∫₀¹e^u du = (e − 1)/2.
Bài 2: Đặt u = sin x, du = cos x dx; cận 0→1. Kết quả ∫₀¹u du = 1/2.
Bài 3: ln a − ln1 = ln4 nên a = 4.
Bài 4: Trên [0, 1], |x − 1| = 1 − x; trên [1, 2], bằng x − 1. Mỗi phần có diện tích 1/2, tổng 1.
Bài 5: Tính cộng được: 2 + (−1) = 1.
Bài 6: Nguyên hàm −1/(1 + x). I = [−1/(1 + x)]₀¹ = −1/2 + 1 = 1/2.