Tối ưu theo đạo hàm trong mô hình hình học và kinh tế.
Đề bài
Bài 1. Một hình chữ nhật có chu vi 40 m. Tìm kích thước để diện tích lớn nhất.
Bài 2. Doanh thu theo số sản phẩm x (0≤x≤100) là R(x)=100x−x² (đơn vị giả định). Tìm x cho doanh thu lớn nhất.
Bài 3. Cho f(x)=x³−6x²+9x trên [0;4]. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Bài 4. Xét hàm chi phí C(x)=x²−12x+50 (x≥0). Tìm chi phí nhỏ nhất và nghiệm đạt.
Lời giải chi tiết
Bài 1. Gọi một cạnh x (0<x<20), cạnh kia 20−x. S=x(20−x)=100−(x−10)² ≤100. Tối ưu tại hai cạnh đều 10 m.
Bài 2. R′(x)=100−2x, bằng 0 tại x=50; đạo hàm đổi từ + sang −. Rmax=R(50)=2500.
Bài 3. f′(x)=3(x−1)(x−3). Tính f(0)=0, f(1)=4, f(3)=0, f(4)=4. Vậy min=0 tại x=0 hoặc 3; max=4 tại x=1 hoặc 4.
Bài 4. C(x)=(x−6)²+14≥14; bằng tại x=6≥0. Điểm này thuộc miền cho phép, nên giá trị nhỏ nhất là 14.
Lưu ý khi làm bài
Điểm dừng không đương nhiên là cực đại; cần so sánh đạo hàm hoặc giá trị biên.