Tính đơn điệu của dãy số và tìm số hạng tổng quát.
Đề bài
Bài 1. Cho uₙ=(2n+1)/(n+2), n≥1. Chứng minh dãy tăng và tìm giới hạn.
Bài 2. Cho u₁=2, uₙ₊₁=2uₙ+1. Tìm công thức uₙ.
Bài 3. Xét uₙ=n/(n+1). Chứng minh 0<uₙ<1 và tìm n nhỏ nhất để uₙ>0,95.
Bài 4. Cho uₙ=(n+1)/n với n≥1. Chứng minh uₙ giảm và bị chặn dưới.
Lời giải chi tiết
Bài 1. uₙ=2−3/(n+2). Vì 3/(n+2) giảm nghiêm ngặt nên uₙ tăng. Khi n→∞, 3/(n+2)→0, suy ra giới hạn 2.
Bài 2. Đặt vₙ=uₙ+1 ⇒ vₙ₊₁=2vₙ, v₁=3. Suy ra vₙ=3·2ⁿ⁻¹; uₙ=3·2ⁿ⁻¹−1.
Bài 3. uₙ=1−1/(n+1) nằm trong (0;1). Điều kiện 1−1/(n+1)>19/20 ⇔1/(n+1)<1/20 ⇔n+1>20 ⇒ n≥20.
Bài 4. uₙ=1+1/n. 1/(n+1)<1/n nên uₙ₊₁<uₙ với mọi n≥1. Đồng thời uₙ>1, vì thế dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1.
Lưu ý khi làm bài
Chỉ so sánh vài số hạng đầu không đủ để kết luận một dãy tăng với mọi n.