Phương trình chứa căn thức nâng cao lớp 9 có lời giải được xây theo trình tự: đặt điều kiện, cô lập căn, bình phương có kiểm soát và thử lại nghiệm. Một số bài được biến đổi về bình phương hoàn chỉnh để tránh bình phương nhiều lần.
Phương pháp cần nhớ
- Điều kiện của biểu thức dưới căn và vế không chứa căn phải được xét trước khi bình phương.
- Sau khi bình phương, luôn thử nghiệm lại vào phương trình ban đầu để loại nghiệm ngoại lai.
- Nếu có √x, đặt t=√x≥0 có thể biến phương trình thành bậc hai đơn giản hơn.
Đề bài
Bài 1: Giải √(x+1)=4.
Bài 2: Giải √(2x−1)=x−2.
Bài 3: Giải √x + 2 = x.
Bài 4: Giải √(x+6) − √x = 1.
Bài 5: Giải √(x−1)+√(x−4)=3.
Bài 6: Giải √x + 1/√x = 5/2 với x>0.
Bài 7: Giải √(x+3)=√(2x−1).
Bài 8: Giải √(x²−6x+9)=5.
Bài 9: Giải √(3x+4)=x.
Bài 10: Giải √(x−2)=x−4.
Bài 11: Giải √(x+1)+√(x−2)=3.
Bài 12: Giải √(2x+3)+1=x.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Điều kiện x≥−1. Bình phương trực tiếp x+1=16 nên x=15.
Bài 2: Điều kiện x≥1/2 và x−2≥0 nên x≥2. Bình phương: 2x−1=(x−2)²=x²−4x+4 ⇒x²−6x+5=0 ⇒x=1 hoặc5. Chỉ x≥2 và thử lại cho x=5.
Bài 3: Đặt t=√x≥0, khi đó x=t². Phương trình t+2=t² ⇒t²−t−2=0 ⇒(t−2)(t+1)=0. t=2, suy ra x=4.
Bài 4: Điều kiện x≥0. Chuyển √(x+6)=√x+1. Bình phương: x+6=x+1+2√x ⇒2√x=5 ⇒√x=5/2 ⇒x=25/4. Thử lại đúng.
Bài 5: Điều kiện x≥4. Đặt a=√(x−1), b=√(x−4). Có a+b=3 và a²−b²=3, tức (a−b)(a+b)=3 nên a−b=1. Giải a=2,b=1 ⇒x−1=4 ⇒x=5.
Bài 6: Đặt t=√x>0. t+1/t=5/2 ⇒2t²−5t+2=0 ⇒(2t−1)(t−2)=0. t=1/2 hoặc2 nên x=1/4 hoặc4.
Bài 7: Hai căn đều xác định khi x≥1/2. Vì hai vế không âm, bình phương được x+3=2x−1 ⇒x=4, thỏa điều kiện.
Bài 8: √(x²−6x+9)=|x−3|=5. Do đó x−3=5 hoặc x−3=−5, suy ra x=8 hoặc x=−2.
Bài 9: Điều kiện x≥0. Bình phương: 3x+4=x² ⇒x²−3x−4=0 ⇒(x−4)(x+1)=0. Chỉ x=4 thỏa điều kiện và phương trình gốc.
Bài 10: Điều kiện x≥4. Bình phương: x−2=(x−4)² ⇒x²−9x+18=0 ⇒x=3 hoặc6. Chỉ x=6 thỏa điều kiện.
Bài 11: Điều kiện x≥2. Đặt a=√(x+1), b=√(x−2). Có a+b=3 và a²−b²=3 ⇒(a−b)(a+b)=3 ⇒a−b=1. Suy ra a=2,b=1 và x=3.
Bài 12: Điều kiện x≥1. Chuyển căn: √(2x+3)=x−1 rồi bình phương: 2x+3=x²−2x+1 ⇒x²−4x−2=0. Nghiệm x=2±√6, chỉ x=2+√6 thỏa x≥1 và phương trình gốc.
Quy trình tránh nghiệm ngoại lai
Bình phương hai vế là phép biến đổi có thể sinh thêm nghiệm, vì vậy mỗi bài phải bắt đầu bằng điều kiện xác định và kết thúc bằng bước thử lại. Trước khi bình phương, nên cô lập một căn ở một vế và kiểm tra vế còn lại có bắt buộc không âm hay không. Nếu phương trình chỉ chứa √x, đặt t=√x với t≥0 thường giúp giảm bậc và làm điều kiện rõ hơn. Với hai căn, đôi khi hiệu hai bình phương hoặc đặt hai đại lượng a, b sẽ ngắn hơn việc bình phương hai lần. Một nghiệm chỉ được nhận khi thỏa cả điều kiện lẫn phương trình gốc.
Bài học liên quan
