Đề luyện thi vào lớp 10 môn Toán số 3 thiên về số học, bất đẳng thức và hình học, tạo độ khác biệt rõ với đề số 1. Lời giải ưu tiên các kĩ thuật THCS quen thuộc như hoàn thành bình phương, đồng dạng và xét chia hết.
Mấu chốt cần nhận ra
- Bất đẳng thức nên tìm dạng bình phương không âm hoặc biến đổi về tổng các số không âm.
- Số học dùng chia hết và số dư thay vì thử vô hạn trường hợp.
- Hình học phải nêu rõ cặp tam giác đồng dạng hoặc định lí được sử dụng.
Đề bài
Bài 1: Chứng minh với mọi x, x²−4x+5≥1.
Bài 2: Tìm số nguyên n để n²+n+1 chia hết cho n+1.
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương của 1/x + 1/y = 1/6 với x≤y.
Bài 4: Cho a,b>0 và a+b=10. Chứng minh ab≤25.
Bài 5: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH xuống BC. Biết BH=4 cm, HC=9 cm. Tính AH.
Bài 6: Trong đường tròn, hai dây AB và CD cắt nhau tại M. Biết MA=3, MB=8, MC=4. Tính MD.
Bài 7: Tìm tất cả số có hai chữ số chia hết cho tổng hai chữ số và lớn hơn 70.
Lời giải chi tiết
Bài 1: x²−4x+5=(x−2)²+1≥1. Dấu bằng khi x=2.
Bài 2: n²+n+1=n(n+1)+1. Chia cho n+1 luôn dư 1, nên để chia hết cần |n+1|=1. Suy ra n=0 hoặc n=−2.
Bài 3: 6(x+y)=xy ⇒ xy−6x−6y=0 ⇒ (x−6)(y−6)=36. Với x,y dương và x≤y, xét các cặp ước dương của 36: (1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6). Suy ra (x,y)=(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12).
Bài 4: (a−b)²≥0 ⇒ (a+b)²≥4ab. Vì a+b=10 nên 100≥4ab, do đó ab≤25. Dấu bằng khi a=b=5.
Bài 5: Trong tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền thỏa AH²=BH·HC=4×9=36, nên AH=6 cm.
Bài 6: Theo định lí hai dây cắt nhau: MA·MB=MC·MD. 3×8=4×MD nên MD=6.
Bài 7: Gọi số là 10a+b với a=7,8,9; cần a+b chia hết 10a+b. Thử b=0…9 theo từng a (chỉ 30 trường hợp có cấu trúc): ta được 72 (tổng 9), 80 (tổng 8), 81 (tổng 9), 84 (tổng 12) và 90 (tổng 9). Kiểm tra lần lượt: 72:9=8, 80:8=10, 81:9=9, 84:12=7, 90:9=10. Vậy các số là 72, 80, 81, 84, 90.