Chuyên đề này luyện cách tìm tập xác định của hàm logarit khi đối số là tích, thương, đa thức hoặc biểu thức logarit lồng nhau. Mỗi bài cần xét đồng thời đối số dương, cơ số dương và cơ số khác 1.
Trọng tâm tư duy
- Với logₐb, luôn cần a > 0, a ≠ 1 và b > 0.
- Giải từng điều kiện riêng rồi lấy giao các tập nghiệm.
- Nếu đối số có phân thức hoặc logarit lồng nhau, không quên điều kiện ở mẫu và ở logarit bên trong.
Đề bài
Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số y = log₂(x² − 5x + 6).
Bài 2: Tìm tập xác định của hàm số y = log_{x−2}(7 − x).
Bài 3: Tìm tập xác định của hàm số y = log₃[(x + 1)/(x − 4)].
Bài 4: Tìm tập xác định của hàm số y = log_{x+3}(x² − 1).
Bài 5: Tìm tập xác định của hàm số y = log₅[log₂(x − 1)].
Bài 6: Tìm tập xác định của hàm số y = log_{x²−4}(x + 1).
Lời giải chi tiết
Bài 1: Cơ số 2 hợp lệ. Đối số phải dương: (x − 2)(x − 3) > 0, tức x < 2 hoặc x > 3. Tập xác định D = (−∞; 2) ∪ (3; +∞).
Bài 2: Điều kiện: x − 2 > 0; x − 2 ≠ 1; 7 − x > 0. Suy ra 2 < x < 7, đồng thời x ≠ 3. Vậy D = (2; 3) ∪ (3; 7).
Bài 3: Vì cơ số 3 hợp lệ, cần (x + 1)/(x − 4) > 0. Tử và mẫu cùng dấu khi x < −1 hoặc x > 4. Tập xác định D = (−∞; −1) ∪ (4; +∞).
Bài 4: Điều kiện cơ số: x + 3 > 0 và x + 3 ≠ 1, tức x > −3 và x ≠ −2. Đối số: x² − 1 > 0, hay x < −1 hoặc x > 1. Lấy giao được D = (−3; −2) ∪ (−2; −1) ∪ (1; +∞).
Bài 5: Biểu thức logarit bên ngoài xác định khi log₂(x − 1) > 0. Vì cơ số 2 lớn hơn 1 nên x − 1 > 1, tức x > 2. Điều kiện này cũng bảo đảm logarit bên trong xác định. Vậy D = (2; +∞).
Bài 6: Đối số x + 1 > 0. Cơ số x² − 4 > 0 và x² − 4 ≠ 1. Từ x > −1 kết hợp x² − 4 > 0 suy ra x > 2. Loại x = √5 do khi đó cơ số bằng 1. Vậy D = (2; √5) ∪ (√5; +∞).