Biến đổi tổ hợp a sin x+b cos x thành một sin hoặc cos duy nhất.
Đề bài
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f(x)=3sin x+4cos x.
Bài 2. Giải sin x+cos x=1 trên [0;2π).
Bài 3. Rút gọn A=(1−cos2x)/(2sin²x) và nêu điều kiện xác định.
Bài 4. Tìm tất cả x thỏa 2sin x−2√3 cos x=4.
Lời giải chi tiết
Bài 1. Theo Cauchy, |3sin x+4cos x|≤√(3²+4²)·√(sin²x+cos²x)=5. Dấu bằng có thể đạt khi (sin x,cos x)=(3/5,4/5) hoặc (−3/5,−4/5). Max 5, min −5.
Bài 2. √2 sin(x+π/4)=1 ⇒sin(x+π/4)=√2/2. Suy ra x=0 hoặc x=π/2 trong [0;2π).
Bài 3. 1−cos2x=2sin²x. Khi sin x≠0 (x≠kπ), A=1. Không được kết luận A xác định tại x=kπ.
Bài 4. Biên độ của vế trái là √(4+12)=4, nên để đạt 4 phải có sin x=1/2, cos x=−√3/2. Suy ra x=5π/6+2kπ, k∈ℤ.
Lưu ý khi làm bài
Hệ số biên độ là √(a²+b²), không phải |a|+|b|.