Quan hệ giữa bán kính, khoảng cách từ tâm đến dây và nửa dây là công cụ đầu tiên. Các câu sau vận dụng hệ thức giữa tiếp tuyến và cát tuyến để tìm độ dài.
Phương pháp cần nhớ
- Dùng tính chất góc nội tiếp, góc ở tâm và tổng hai góc đối khi xét tứ giác nội tiếp.
- Với tiếp tuyến, bán kính đi qua tiếp điểm vuông góc với tiếp tuyến.
- Khi tính đoạn thẳng, nêu rõ tam giác hoặc định lí được sử dụng.
Đề bài
Bài 1: Trong đường tròn tâm O, bán kính 5 cm, dây AB cách tâm 3 cm. Tính AB.
Bài 2: Từ M ngoài đường tròn, kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB. Biết MA = 4, MB = 9. Tính MT.
Bài 3: Hai tiếp tuyến MA, MB từ M đến đường tròn. Chứng minh OM là đường trung trực của AB. Trong lời giải, nêu rõ tính chất hoặc phép biến đổi quyết định.
Bài 4: Góc ở tâm AOB = 120°. Tính góc nội tiếp ACB cùng chắn cung nhỏ AB và giải thích nếu C nằm trên cung lớn.
Bài 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp, ∠A = 72°. Tính ∠C. Nếu ∠B = 95° thì ∠D bằng bao nhiêu?
Bài 6: Từ M ngoài đường tròn có MA, MB là tiếp tuyến. Nếu ∠AMB = 50°, tính ∠AOB. Trong lời giải, nêu rõ tính chất hoặc phép biến đổi quyết định.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Đường vuông góc từ O đến AB đi qua trung điểm H. AH = √(5² − 3²) = 4, nên AB = 8 cm.
Bài 2: Theo định lí tiếp tuyến–cát tuyến: MT² = MA·MB = 36, nên MT = 6.
Bài 3: OA = OB là bán kính, MA = MB là hai tiếp tuyến từ một điểm. O và M cùng cách đều A, B nên đường OM là đường trung trực của AB.
Bài 4: Góc nội tiếp chắn cùng cung bằng nửa góc ở tâm, nên ∠ACB = 60° khi C nằm trên cung lớn để chắn cung nhỏ AB.
Bài 5: Hai góc đối tứ giác nội tiếp bù nhau. C = 108°, D = 85°.
Bài 6: Tứ giác AOMB có A = B = 90°. Tổng góc 360° nên ∠AOB = 360 − 90 − 90 − 50 = 130°.