Chuyên đề parabol và hệ thức Viète lớp 9: khai thác giao điểm đường thẳng–parabol, tổng và tích nghiệm, điểm tiếp xúc và điều kiện cực trị có tham số.
Trọng tâm tư duy
- Chuyển giao điểm thành nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
- Áp dụng hệ thức Viète kèm kiểm tra hai nghiệm phân biệt khi đề yêu cầu.
- Để tiếp xúc, phương trình hoành độ giao điểm cần có nghiệm kép.
Đề bài
Bài 1: Đường thẳng y = mx + 3 cắt parabol y = x² tại A, B. Tìm m để tổng bình phương hai hoành độ giao điểm bằng 22.
Bài 2: Tìm m để phương trình x² − (m + 2)x + 2m = 0 có một nghiệm bằng 1; tìm nghiệm còn lại.
Bài 3: Parabol y = ax² đi qua A(3; 18). Tìm a, rồi tìm b để đường thẳng y = 6x + b tiếp xúc parabol.
Bài 4: Tìm t để đường thẳng y = 2x + t tiếp xúc parabol y = x² − 4x + 1.
Bài 5: Cho f(x)=x² − 2(m − 2)x + m². Tìm m để giá trị nhỏ nhất của f bằng 12.
Bài 6: Phương trình x² − 6x + k = 0 có hai nghiệm phân biệt với tổng bình phương bằng 20. Tìm k và hai nghiệm.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Hoành độ là nghiệm x²−mx−3=0. Biệt thức m²+12>0 nên có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Viète: x₁+x₂=m, x₁x₂=−3. Do đó x₁²+x₂²=m²−2(−3)=m²+6. Điều kiện m²+6=22 cho m=4 hoặc m=−4.
Bài 2: Thay x=1: 1−(m+2)+2m=0 nên m−1=0, suy ra m=1. Phương trình thành x²−3x+2=(x−1)(x−2)=0. Hai nghiệm 1 và 2; nghiệm còn lại là 2.
Bài 3: Từ 18 = a·3² suy ra a=2. Phương trình giao điểm 2x²−6x−b=0. Tiếp xúc khi Δ = (−6)²−4·2·(−b)=36+8b=0 nên b=−9/2. Khi ấy hoành độ tiếp điểm x=6/4=3/2.
Bài 4: Phương trình hoành độ giao điểm là x²−6x+(1−t)=0. Để có nghiệm kép cần Δ=36−4(1−t)=32+4t=0, suy ra t=−8. Thay lại: x²−6x+9=(x−3)², đúng là tiếp xúc tại x=3.
Bài 5: Hoàn thành bình phương: f(x)=[x−(m−2)]² + m²−(m−2)² = [x−(m−2)]² + 4m−4. Giá trị nhỏ nhất là 4m−4 đạt tại x=m−2. Yêu cầu 4m−4=12 nên m=4.
Bài 6: Theo Viète x₁+x₂=6, x₁x₂=k. Suy ra x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂=36−2k=20, do đó k=8. Khi đó Δ=36−32=4>0, hai nghiệm là 2 và 4.