Rút gọn căn thức có điều kiện nâng cao lớp 9 chú trọng điều kiện xác định, trục căn thức ở mẫu, nhận dạng bình phương hoàn chỉnh và rút gọn phân thức chứa căn. Mỗi bài đều kiểm tra miền xác định trước khi biến đổi.
Phương pháp cần nhớ
- Viết điều kiện xác định trước; không rút gọn làm mất điều kiện của biểu thức ban đầu.
- Nhận √(a²)=|a|, không tự động thay bằng a khi chưa biết dấu.
- Khi trục căn thức ở mẫu, nhân với biểu thức liên hợp phù hợp.
Đề bài
Bài 1: Rút gọn √50 − 2√8 + √18.
Bài 2: Rút gọn A=(√x−2)(√x+2) với x≥0.
Bài 3: Rút gọn B=(x−9)/(√x−3), với x≥0 và x≠9.
Bài 4: Trục căn thức ở mẫu: C=1/(√5−2).
Bài 5: Rút gọn √(x²−6x+9) với x≥3.
Bài 6: Rút gọn D=(√a+√b)²−2√(ab), với a,b≥0.
Bài 7: Cho x>0. Rút gọn E=(√x+1/√x)²−(x+1/x).
Bài 8: Tìm x≥0, x≠4 để biểu thức F=(x−4)/(√x−2) bằng 6.
Bài 9: Rút gọn √(12x²) với x<0.
Bài 10: Rút gọn (√3+1)/(√3−1).
Bài 11: Rút gọn √(27a²) với a≥0.
Bài 12: Trục căn thức ở mẫu: 1/(√7+√6).
Lời giải chi tiết
Bài 1: √50=5√2, 2√8=4√2, √18=3√2. Tổng = (5−4+3)√2 = 4√2.
Bài 2: Dùng hằng đẳng thức: (√x−2)(√x+2)=x−4. Vậy A=x−4.
Bài 3: x−9=(√x−3)(√x+3). Với x≠9 thì √x−3≠0 nên B=√x+3. Điều kiện x≥0,x≠9 vẫn giữ.
Bài 4: Nhân cả tử và mẫu với √5+2: C=(√5+2)/(5−4)=√5+2.
Bài 5: x²−6x+9=(x−3)². Vì x≥3 nên |x−3|=x−3. Kết quả x−3.
Bài 6: (√a+√b)²=a+b+2√ab. Trừ 2√ab còn a+b.
Bài 7: (√x+1/√x)²=x+2+1/x. Trừ (x+1/x) còn 2.
Bài 8: x−4=(√x−2)(√x+2), nên F=√x+2. Giải √x+2=6 ⇒√x=4 ⇒x=16, thỏa điều kiện.
Bài 9: √(12x²)=2√3·|x|. Vì x<0 nên |x|=−x, do đó kết quả là −2x√3.
Bài 10: Nhân cả tử và mẫu với √3+1: [(√3+1)²]/(3−1)=(4+2√3)/2=2+√3.
Bài 11: √(27a²)=√(9·3)·√(a²)=3√3·a=3a√3 vì a≥0.
Bài 12: Nhân với liên hợp √7−√6: mẫu 7−6=1, nên kết quả √7−√6.
Sai lầm thường gặp khi rút gọn căn
Lỗi phổ biến nhất là viết √(x²)=x trong mọi trường hợp. Đúng phải là √(x²)=|x|; chỉ khi biết x≥0 mới bỏ được dấu giá trị tuyệt đối. Lỗi thứ hai là rút gọn một nhân tử có thể bằng 0 rồi quên giữ điều kiện của mẫu ban đầu. Lỗi thứ ba là trục căn thức ở mẫu nhưng nhân tử và mẫu không cùng nhân với biểu thức liên hợp. Khi kiểm tra lời giải, hãy quay lại điều kiện xác định, thử một giá trị âm nếu bài cho phép, và nhân ngược biểu thức đã rút gọn để xem có trở lại dạng ban đầu hay không.