Bài toán: Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn: $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2$ và $\dfrac{2}{x y}-\dfrac{1}{z^2}=4$. Tính giá trị biểu thức: $B=(x+2 y+z)^{2026}$.
Hướng dẫn giải:
*Nhận xét: Đây là một bài toán đại số nâng cao rất hay và tiêu biểu, thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi lớp 8. Chìa khóa để giải quyết bài toán này nằm ở việc đặt ẩn phụ để đưa về các đa thức và khéo léo sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để đánh giá.
Dưới đây là các bước giải chi tiết:
Bước 1: Đặt điều kiện và ẩn phụ
Đầu tiên, ta cần có điều kiện xác định: $x, y, z \neq 0$.
Để bài toán đơn giản hơn, ta đặt ẩn phụ:
$a = \dfrac{1}{x}$
$b = \dfrac{1}{y}$
$c = \dfrac{1}{z}$
Khi đó, giả thiết của bài toán được viết lại thành hệ phương trình mới:
$a + b + c = 2$ (1)
$2ab – c^2 = 4$ (2)
Bước 2: Biến đổi và kết nối hai phương trình
Từ phương trình (1), ta bình phương hai vế:
$(a + b + c)^2 = 2^2$
$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = 4$ (3)
Ta nhận thấy cả phương trình (2) và (3) đều có giá trị bằng 4. Do đó, ta có thể cho chúng bằng nhau:
$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = 2ab – c^2$
Bước 3: Rút gọn và nhóm hạng tử
Lúc này, ta trừ $2ab$ ở cả hai vế và chuyển $-c^2$ sang vế trái:
$a^2 + b^2 + c^2 + c^2 + 2bc + 2ca = 0$
$a^2 + b^2 + 2c^2 + 2bc + 2ca = 0$
Tiếp theo, ta tách $2c^2 = c^2 + c^2$ và nhóm các hạng tử lại để tạo thành các hằng đẳng thức bình phương của một tổng:
$(a^2 + 2ca + c^2) + (b^2 + 2bc + c^2) = 0$
$(a + c)^2 + (b + c)^2 = 0$
Bước 4: Đánh giá và tìm nghiệm
Vì bình phương của mọi số thực đều không âm, tức là $(a + c)^2 \ge 0$ và $(b + c)^2 \ge 0$, nên tổng của chúng bằng 0 khi và chỉ khi cả hai biểu thức đều đồng thời bằng 0:
$a + c = 0$
$b + c = 0$
Từ đây ta suy ra: $a = -c$ và $b = -c$.
Thay kết quả này ngược lại vào phương trình (1) $a + b + c = 2$:
$(-c) + (-c) + c = 2$
$-c = 2 \implies c = -2$
Suy ra: $a = -(-2) = 2$ và $b = -(-2) = 2$.
Bước 5: Trả lại biến cũ và tính giá trị biểu thức B
Với $a = 2, b = 2, c = -2$, ta tìm lại được $x, y, z$:
$x = \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{2}$
$y = \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{2}$
$z = \dfrac{1}{c} = -\dfrac{1}{2}$
(Các giá trị này đều thỏa mãn điều kiện khác 0 ban đầu).
Cuối cùng, thay $x, y, z$ vào biểu thức $B = (x + 2y + z)^{2026}$:
$x + 2y + z = \dfrac{1}{2} + 2\left(\dfrac{1}{2}\right) + \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2} + 1 – \dfrac{1}{2} = 1$
Do đó:
$B = 1^{2026} = 1$
Kết luận: Giá trị của biểu thức $B$ là 1.