Giải bài toán “Tính giá trị biểu thức” – Đề thi HSG Toán 8 (2025-2026) phường Trường Vinh, Nghệ An được trình bày theo đúng dữ kiện của bài thi; trọng tâm là chỉ ra bước khóa thay vì kéo dài phép tính.
Đề bài
Cho x, y, z khác 0 thỏa mãn 1/x + 1/y + 1/z = 2 và 2/(xy) − 1/z² = 4. Tính B = (x + 2y + z)^2026.
Phân tích
Các nghịch đảo xuất hiện đồng thời ở hai giả thiết nên đặt a = 1/x, b = 1/y, c = 1/z. Mục tiêu là phối hợp hai phương trình để tạo tổng các bình phương không âm.
Lời giải chi tiết
Bước 1. Đặt a = 1/x, b = 1/y, c = 1/z. Khi đó a + b + c = 2 và 2ab − c² = 4.
Bước 2. Bình phương a + b + c = 2: a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = 4.
Bước 3. Lấy phương trình này trừ 2ab − c² = 4, được a² + b² + 2c² + 2bc + 2ca = 0, tức (a + c)² + (b + c)² = 0.
Bước 4. Suy ra a + c = 0 và b + c = 0. Do đó a = b=−c. Thay vào a + b + c = 2 được − c = 2, nên a = b = 2,c=−2.
Bước 5. Vậy x = y = 1/2,z=−1/2. Khi đó x + 2y + z = 1 nên B = 1. Thay lại hai giả thiết đều đúng.
Điểm cần nhớ
- Ẩn phụ phải bám đúng cấu trúc nghịch đảo.
- Tổng hai bình phương bằng 0 trên R buộc từng bình phương bằng 0.
- Sau khi suy ra x,y,z phải thay ngược để kiểm tra.
Bài luyện tương tự
Gợi ý/lời giải: Hai bình phương bằng 0 nên a = b = c; từ 3c = 3 được a = b = c = 1.