Chứng minh chia hết nâng cao lớp 6: Phương pháp và bài tập được nâng lại đúng mức bồi dưỡng: phân tích thành thừa số và xét số dư để chứng minh cho mọi số nguyên. Mỗi bài đều có một ý tưởng khóa; phép biến đổi chỉ được dùng khi phục vụ trực tiếp cho ý tưởng đó.
Điểm khó cần nhận ra
- Bài được chọn để rèn phân tích thành thừa số và xét số dư để chứng minh cho mọi số nguyên.
- Ưu tiên cách giải ngắn nhưng phải nêu được nhận xét quyết định.
- Không dùng kiến thức của lớp trên chỉ để làm số liệu trông khó hơn.
Đề bài
Bài 1: Chứng minh tích bốn số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 24.
Bài 2: Chứng minh n^3 − n luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Bài 3: Chứng minh n^5 − n chia hết cho 30 với mọi số nguyên n.
Bài 4: Chứng minh 10^n + 8 chia hết cho 9 với mọi n≥1.
Bài 5: Chứng minh 7^(2n) − 1 chia hết cho 48 với mọi n≥1.
Bài 6: Chứng minh n(n + 1)(2n + 1) luôn chia hết cho 6.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Trong bốn số liên tiếp có một số chia hết 4 và ít nhất một số chẵn khác, nên tích có thừa số 8. Đồng thời trong bốn số liên tiếp có một số chia hết 3. Vì 8 và 3 nguyên tố cùng nhau, tích chia hết 24.
Bài 2: n^3 − n = n(n − 1)(n + 1), là tích ba số nguyên liên tiếp. Trong ba số có một số chia hết 3 và ít nhất một số chẵn, nên tích chia hết 6.
Bài 3: Ta có n^5 − n = n(n − 1)(n + 1)(n² + 1). Trong ba số liên tiếp n − 1,n,n + 1 có một số chia hết 3 và ít nhất một số chẵn, nên biểu thức chia hết 2 và 3. Để xét chia hết 5, xét n khi chia 5 có dư 0, 1, 2, 3, 4: các lũy thừa bậc 5 tương ứng có cùng số dư với n (có thể tính trực tiếp 0^5,1^5,2^5,3^5,4^5 theo modulo 5), nên n^5 − n chia hết 5. Vì 2, 3, 5 đôi một nguyên tố cùng nhau, biểu thức chia hết 30.
Bài 4: 10^n chia 9 dư 1, nên 10^n + 8 chia 9 dư 1 + 8 = 9, tức chia hết 9.
Bài 5: 7² = 49 chia 48 dư 1. Do đó (7²)^n − 1 chia hết 48.
Bài 6: Tích n(n + 1) luôn chẵn. Xét n theo số dư khi chia 3: nếu n dư 0 thì n chia 3; nếu n dư 1 thì 2n + 1 dư 0; nếu n dư 2 thì n + 1 dư 0. Vậy tích cũng chia 3, nên chia hết 6.
Xem tài liệu
SÁCH RẤT HAY, GỬI CHO MÌNH XIN Ạ. XIN CẢM ƠN!