Chứng minh bất đẳng thức dạng tổng phân số cần nhìn cấu trúc mẫu số trước khi quy đồng. Nhiều tổng dài có thể tách thành hiệu của hai phân số liên tiếp để các hạng ở giữa tự triệt tiêu.
Điểm khó cần nhận ra
- Mẫu k(k + 1) gợi dạng 1/k − 1/(k + 1).
- Mẫu k(k + 2) hoặc (2k − 1)(2k + 1) tạo hai dãy triệt tiêu cách nhau một bước.
- Nếu không tách được chính xác, hãy tìm một phân số lớn hơn từng hạng nhưng có dạng triệt tiêu.
Đề bài
Bài 1: Chứng minh 1/2 + 1/6 + 1/12 + … + 1/[n(n + 1)] < 1.
Bài 2: Chứng minh 1/(1 × 3) + 1/(2 × 4) + … + 1/[n(n + 2)] < 3/4.
Bài 3: Chứng minh 1/2^2 + 1/3^2 + … + 1/n^2 < 1 với n ≥ 2.
Bài 4: Chứng minh 1/3 + 1/8 + 1/15 + … + 1/(n^2 − 1) < 3/4 với n ≥ 2.
Bài 5: Chứng minh 1/(1 × 2 × 3) + 1/(2 × 3 × 4) + … + 1/[n(n + 1)(n + 2)] < 1/4.
Bài 6: Chứng minh 1/(1 × 3) + 1/(3 × 5) + … + 1/[(2n − 1)(2n + 1)] < 1/2.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Với mỗi k ≥ 1, 1/[k(k + 1)] = 1/k − 1/(k + 1). Cộng từ k = 1 đến n, các hạng ở giữa triệt tiêu, còn 1 − 1/(n + 1), luôn nhỏ hơn 1.
Bài 2: Ta có 1/[k(k + 2)] = 1/2 × [1/k − 1/(k + 2)]. Khi cộng từ k = 1 đến n, các hạng từ 1/3 đến 1/n triệt tiêu. Tổng bằng 1/2 × [1 + 1/2 − 1/(n + 1) − 1/(n + 2)], nhỏ hơn 1/2 × 3/2 = 3/4.
Bài 3: Với k ≥ 2, vì k^2 > k(k − 1) nên 1/k^2 < 1/[k(k − 1)] = 1/(k − 1) − 1/k. Cộng các bất đẳng thức từ k = 2 đến n được tổng bên trái nhỏ hơn 1 − 1/n, do đó nhỏ hơn 1.
Bài 4: Ta có 1/(k^2 − 1) = 1/[(k − 1)(k + 1)] = 1/2 × [1/(k − 1) − 1/(k + 1)]. Cộng từ k = 2 đến n, tổng bằng 3/4 − 1/(2n) − 1/[2(n + 1)], nên nhỏ hơn 3/4.
Bài 5: Ta có 1/[k(k + 1)(k + 2)] = 1/2 × {1/[k(k + 1)] − 1/[(k + 1)(k + 2)]}. Khi cộng, các hạng giữa triệt tiêu, tổng bằng 1/4 − 1/[2(n + 1)(n + 2)], nên nhỏ hơn 1/4.
Bài 6: Với k ≥ 1, 1/[(2k − 1)(2k + 1)] = 1/2 × [1/(2k − 1) − 1/(2k + 1)]. Cộng lại được 1/2 × [1 − 1/(2n + 1)], nên nhỏ hơn 1/2.
Nhận xét
Nếu một tổng có hàng chục hạng tử mà lời giải vẫn phải quy đồng toàn bộ, rất có thể chưa tìm đúng cách tách. Hãy thử phân tích mẫu thành tích của hai số gần nhau.
KHÓ HIỂU