Bài luyện viết phương trình tiếp tuyến từ đạo hàm tại một điểm và tìm hệ số góc theo dữ kiện cho trước.
Trọng tâm tư duy
- Xác định miền xác định và cấu trúc của tiếp tuyến và hệ số góc trước khi biến đổi.
- Trong Đạo hàm lớp 11: tiếp tuyến và hệ số góc, với tham số, cực trị hoặc xác suất phải nêu điều kiện để kết quả đạt được, không chỉ tính giá trị.
- Sau mỗi lời giải, kiểm tra nghiệm, dấu, miền hoặc giả thiết hình học trước khi chốt kết luận.
Đề bài
Bài 1: Viết tiếp tuyến của y = x³ − 2x tại điểm có hoành độ 1.
Bài 2: Tìm các điểm trên y = x² − 4x + 1 có tiếp tuyến song song đường y = 2x + 5.
Bài 3: Tìm điểm trên y = 1/x mà tiếp tuyến có hệ số góc −1/4.
Bài 4: Tìm m để đường thẳng y = mx − 1 tiếp xúc với parabol y = x² − 4x + 5.
Bài 5: Tiếp tuyến của y = x³ tại x = a đi qua điểm A(0, −2). Tìm a.
Bài 6: Cho a là số thực khác 0. Chứng minh rằng hai tiếp tuyến của đồ thị y = x² tại các điểm có hoành độ a và −a cắt nhau tại một điểm nằm trên trục Oy.
Lời giải chi tiết
Bài 1: y′ = 3x² − 2, tại1 có k = 1; điểm (1, −1). Tiếp tuyến y + 1 = x − 1, tức y = x − 2.
Bài 2: y′ = 2x − 4 = 2 ⇒x = 3. Khi đó y = −2. Điểm (3, −2), tiếp tuyến y + 2 = 2(x − 3).
Bài 3: y′=−1/x² = −1/4 ⇒x² = 4 ⇒x = ±2. Hai điểm (2, 1/2), (−2, −1/2).
Bài 4: Hoành độ tiếp xúc thỏa x² − (m + 4)x + 6 = 0 có nghiệm kép. Δ = (m + 4)² − 24 = 0 ⇒m = −4±2√6.
Bài 5: Tiếp tuyến: y = a³ + 3a²(x − a) = 3a²x − 2a³. Đi qua A nên −2a³ = −2 ⇒a = 1.
Bài 6: Vì (x²)′ = 2x, tiếp tuyến tại hoành độ a là y = 2ax − a²; tiếp tuyến tại hoành độ −a là y = −2ax − a². Do a ≠ 0 nên hai tiếp tuyến có hệ số góc khác nhau, cắt nhau tại đúng một điểm. Tại giao điểm: 2ax − a² = −2ax − a², suy ra 4ax = 0, nên x = 0. Thay vào một phương trình được y = −a². Vậy giao điểm là (0; −a²), nằm trên trục Oy.