Đạo hàm lớp 11: tiếp tuyến và hệ số góc tập trung vào tiếp tuyến và hệ số góc. Độ khó nằm ở việc đọc điều kiện, chọn quan hệ phù hợp và nối các bước suy luận; số liệu không được cố tình làm lớn chỉ để tạo cảm giác khó.
Trọng tâm tư duy
- Xác định miền xác định và cấu trúc của tiếp tuyến và hệ số góc trước khi biến đổi.
- Trong Đạo hàm lớp 11: tiếp tuyến và hệ số góc, với tham số, cực trị hoặc xác suất phải nêu điều kiện để kết quả đạt được, không chỉ tính giá trị.
- Sau mỗi lời giải, kiểm tra nghiệm, dấu, miền hoặc giả thiết hình học trước khi chốt kết luận.
Đề bài
Bài 1: Viết tiếp tuyến của y = x³ − 2x tại điểm có hoành độ 1.
Bài 2: Tìm các điểm trên y = x² − 4x + 1 có tiếp tuyến song song đường y = 2x + 5.
Bài 3: Tìm điểm trên y = 1/x mà tiếp tuyến có hệ số góc −1/4.
Bài 4: Tìm m để đường thẳng y = mx − 1 tiếp xúc với parabol y = x² − 4x + 5.
Bài 5: Tiếp tuyến của y = x³ tại x = a đi qua điểm A(0, −2). Tìm a.
Bài 6: Chứng minh các tiếp tuyến của y = x² tại hai điểm có hoành độ a và −a cắt nhau trên trục Oy.
Lời giải chi tiết
Bài 1: y′ = 3x² − 2, tại1 có k = 1; điểm (1, −1). Tiếp tuyến y + 1 = x − 1, tức y = x − 2.
Bài 2: y′ = 2x − 4 = 2 ⇒x = 3. Khi đó y = −2. Điểm (3, −2), tiếp tuyến y + 2 = 2(x − 3).
Bài 3: y′=−1/x² = −1/4 ⇒x² = 4 ⇒x = ±2. Hai điểm (2, 1/2), (−2, −1/2).
Bài 4: Hoành độ tiếp xúc thỏa x² − (m + 4)x + 6 = 0 có nghiệm kép. Δ = (m + 4)² − 24 = 0 ⇒m = −4±2√6.
Bài 5: Tiếp tuyến: y = a³ + 3a²(x − a) = 3a²x − 2a³. Đi qua A nên −2a³ = −2 ⇒a = 1.
Bài 6: Tiếp tuyến tại a: y = 2ax − a²; tại −a: y = −2ax − a². Giao nhau khi 4ax = 0. Với a≠0, x = 0 và y = −a², thuộc Oy; a = 0 thì hai tiếp tuyến trùng nhau.
Tự kiểm tra và mở rộng
Phần tự kiểm tra của Đạo hàm lớp 11: tiếp tuyến và hệ số góc nên tập trung vào Bài 1 và Bài 4: ghi riêng miền xác định, điểm tới hạn hoặc giả thiết hình học trước khi tính; sau đó kiểm tra xem kết luận có thay đổi khi một tham số hoặc dữ kiện được điều chỉnh nhỏ hay không. Khi một lời giải có nhiều nghiệm hoặc nhiều trường hợp, hãy xác nhận đã loại đủ nghiệm ngoại lai và đã xét đủ dấu. Mục tiêu là kiểm soát lập luận, không phải chỉ thu được một con số cuối.