Tư duy phản chứng và bất biến trong bài toán HSG lớp 7 giới thiệu hai kiểu suy luận thường gặp trong đề học sinh giỏi: giả sử điều ngược lại để dẫn đến mâu thuẫn, và theo dõi một đại lượng không thay đổi sau mỗi thao tác.
Phương pháp cần nhớ
- Phản chứng: giả sử kết luận sai, kết hợp với giả thiết để tạo mâu thuẫn rõ ràng.
- Bất biến: tìm đại lượng như tính chẵn lẻ, tổng theo modulo nhỏ hoặc màu sắc không đổi sau mỗi bước.
- Không dùng “hiển nhiên” ở bước quyết định; phải chỉ ra mâu thuẫn hoặc bất biến cụ thể.
Đề bài
Bài 1: Chứng minh không tồn tại số nguyên n để n² = 4k + 2 với k nguyên.
Bài 2: Có 15 số nguyên, tổng của chúng là số lẻ. Chứng minh có ít nhất một số lẻ.
Bài 3: Trên bảng viết 10 số 1. Mỗi lần được đổi dấu đúng hai số. Chứng minh không thể đạt trạng thái có đúng 1 số −1.
Bài 4: Chứng minh √2 không thể là một phân số a/b tối giản bằng lập luận chẵn lẻ.
Bài 5: Có 7 điểm trên mặt phẳng, không có ba điểm thẳng hàng. Chứng minh tồn tại một tam giác có ba đỉnh trong 7 điểm.
Bài 6: Một số nguyên được biến đổi bằng thao tác n → n+2 hoặc n → n−2. Từ 1 có thể đạt 100 không? Giải thích bằng bất biến.
Bài 7: Chứng minh không có ba số nguyên liên tiếp đều là số lẻ.
Bài 8: Trên bảng có số 2025. Mỗi bước được cộng hoặc trừ 6. Có thể nhận được 2026 không?
Lời giải chi tiết
Bài 1: Bình phương số chẵn chia 4 dư 0; bình phương số lẻ (2m+1)²=4m(m+1)+1 chia 4 dư 1. Không có bình phương nào chia 4 dư 2. Vì vậy giả sử n²=4k+2 dẫn đến mâu thuẫn. Không tồn tại n.
Bài 2: Nếu cả 15 số đều chẵn thì tổng của chúng chẵn. Điều này trái với giả thiết tổng lẻ. Vậy ít nhất một số phải lẻ.
Bài 3: Mỗi lần đổi dấu hai số làm số lượng dấu âm thay đổi 0 hoặc 2, nên tính chẵn lẻ của số lượng dấu âm không đổi. Ban đầu có 0 dấu âm là số chẵn; trạng thái có đúng 1 dấu âm là lẻ. Vì vậy không thể đạt.
Bài 4: Giả sử √2=a/b với a,b nguyên dương và tối giản. Khi đó a²=2b² nên a² chẵn, suy ra a chẵn, đặt a=2c. Thay vào được 4c²=2b², nên b²=2c² và b cũng chẵn. a,b cùng chẵn trái với tối giản. Vậy √2 vô tỉ.
Bài 5: Chọn bất kỳ ba trong 7 điểm. Vì không có ba điểm thẳng hàng nên ba điểm đó tạo thành một tam giác. Do đó chắc chắn tồn tại, thậm chí có nhiều tam giác. Đpcm.
Bài 6: Mỗi thao tác cộng hoặc trừ 2 giữ nguyên tính lẻ của số. Từ 1 luôn nhận số lẻ, trong khi 100 chẵn. Vì vậy không thể đạt 100.
Bài 7: Trong hai số nguyên liên tiếp luôn có một số chẵn. Vì thế trong ba số liên tiếp chắc chắn có số chẵn, mâu thuẫn với giả sử cả ba đều lẻ. Không thể.
Bài 8: Mỗi bước thay đổi số một bội của 6, nên số dư khi chia 6 không đổi. 2025 chia 6 dư 3, còn 2026 dư 4. Vì số dư khác nhau nên không thể nhận 2026.