Bài toán chọn số và chia hết lớp 6: Tư duy HSG dùng nguyên tắc chia các số theo nhóm số dư để chứng minh “chắc chắn tồn tại” một cặp số có tính chất yêu cầu. Đây là dạng tư duy quan trọng trong bồi dưỡng học sinh giỏi số học.
Phương pháp cần nhớ
- Khi chia cho m, mọi số chỉ có m loại số dư: 0, 1, …, m−1.
- Nếu chọn nhiều số hơn số nhóm số dư, chắc chắn có hai số rơi vào cùng một nhóm.
- Hai số có cùng số dư khi chia m thì hiệu của chúng chia hết cho m.
Đề bài
Bài 1: Chọn bất kỳ 6 số nguyên. Chứng minh luôn có hai số có hiệu chia hết cho 5.
Bài 2: Chọn bất kỳ 5 số nguyên. Chứng minh luôn có hai số có hiệu chia hết cho 4.
Bài 3: Chọn 6 số khác nhau từ 1 đến 10. Chứng minh có hai số có tổng bằng 11.
Bài 4: Chọn 11 số khác nhau từ 1 đến 20. Chứng minh có hai số hơn kém nhau 10.
Bài 5: Chọn 8 số nguyên bất kỳ. Chứng minh có hai số có cùng số dư khi chia 7.
Bài 6: Từ 1 đến 16 chọn 9 số. Chứng minh có hai số liên tiếp.
Bài 7: Chọn 5 số lẻ bất kỳ. Chứng minh có hai số có hiệu chia hết cho 8.
Bài 8: Chọn 7 số từ tập {1,2,…,12}. Chứng minh có hai số mà hiệu không vượt quá 1.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Khi chia cho 5 chỉ có 5 loại số dư: 0,1,2,3,4. Chọn 6 số thì ít nhất hai số có cùng số dư. Hiệu của hai số đó chia hết cho 5. Điều phải chứng minh.
Bài 2: Khi chia cho 4 chỉ có 4 loại số dư. Năm số buộc có hai số cùng số dư, nên hiệu của chúng chia hết cho 4.
Bài 3: Chia 1 đến 10 thành 5 cặp có tổng 11: (1,10), (2,9), (3,8), (4,7), (5,6). Chọn 6 số từ 5 cặp thì phải có một cặp được chọn đủ hai số. Vậy tồn tại hai số có tổng 11.
Bài 4: Chia 1 đến 20 thành 10 cặp (1,11), (2,12), …, (10,20). Chọn 11 số thì có một cặp được chọn đủ, hai số đó hơn kém nhau 10.
Bài 5: Chia cho 7 có 7 loại số dư. Chọn 8 số nên có hai số cùng loại số dư. Kết luận trực tiếp: tồn tại hai số cùng số dư khi chia 7.
Bài 6: Chia 1 đến 16 thành 8 cặp liên tiếp: (1,2), (3,4), …, (15,16). Chọn 9 số thì ít nhất một cặp có cả hai số được chọn, nên có hai số liên tiếp. Đpcm.
Bài 7: Số lẻ khi chia 8 chỉ có thể dư 1,3,5,7, tức 4 loại. Chọn 5 số lẻ thì có hai số cùng số dư, nên hiệu của chúng chia hết cho 8.
Bài 8: Chia tập thành 6 cặp liên tiếp: (1,2), (3,4), …, (11,12). Chọn 7 số thì có một cặp được chọn đủ. Hai số trong cặp có hiệu 1, nên hiệu không vượt quá 1.