Bằng cách xét số dư từng vế chúng ta có thể giải được phương trình nghiệm nguyên. Phương pháp này có thể chứng minh được PT vô nghiệm.
Các em xem ví dụ minh họa dưới đây.
Mục lục
TÌM NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Ví dụ 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình : $9 x+2=y^{2}+y$
(1)
Giải
Viết lại phương trình thành : $9 x+2=y(y+1)$
Ta thấy vế trái của (6.1) là số chia cho 3 dư 2 nên $y(y+1)$ chia cho 3 dư 2 .
Nếu $y$ chia hết cho 3 hoặc $y$ chia cho 3 dư 2 thì $y(y+1)$ đều chia hết cho 3 , trái với kết luận trên.
Do đó $y$ chia cho 3 dư 1 . Đặt $y=3 k+1(k \in Z)$ thì $y+1=3 k+2$. Khi đó ta có :
$9 x+2=(3 k+1)(3 k+2) \Leftrightarrow 9 x=9 k(k+1) \Leftrightarrow x=k(k+1)$
Thử lại $x=k(k+1)$ và $y=3 k+1$ thoả mãn phương trình đã cho.
Vậy nghiệm nguyên của phương trình (6) là $x=k(k+1)$ và $y=3 k+1(k \in Z)$
CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH VÔ NGHIỆM
Ta chứng minh hai vế khi chia cho cùng một số không thể cùng một số dư.
Chú ý : Hai số $a-b$ và $a+b(a, b \in Z)$ có cùng tính chẵn lẻ.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng các phương trình sau không có nghiệm nguyên:
a) $x^{2}-y^{2}=2006$ (7)
b) $x^{2}+y^{2}=2007$ (8)
a)
Cách 1. Phương trình (7) viết thành : $(x-y)(x+y)=2006$
Vì $(x-y)+(x+y)=2 x$ là số nguyên chẵn nên $(x-y)$ và $(x+y)$ cùng tính chẵn lẻ.
Từ (7.1) suy ra $(x-y)$ và $(x+y)$ đều chẵn. Do đó $(x-y)(x+y)$ chia hết cho 4 . Nhưng 2006 không chia hết cho 4 . Từ đó suy ra (7.1) vô nghiệm.
Từ đó phương trình ( 7 ) vô nghiệm.
Cách 2. Số chính phương chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 . Do đó $x^{2}, y^{2}$ chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1 . Suy ra $x^{2}-y^{2}$ chia cho 4 có số dư $0,1,3$. Còn vế phải 2006 chia cho 4 dư 2 .
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.
b) $x^{2}, y^{2}$ chia cho 4 có số dư 0,1 nên $x^{2}+y^{2}$ chia cho 4 có số dư $0,1,2$. Còn vế phải 2007 chia cho 4 dư 3.
Vậy phương trình (8) không có nghiệm nguyên.
BÀI TẬP
