Đề bài: Trên các đỉnh bất kỳ của một lục giác đều có ghi các số chẵn liên tiếp theo chiều kim đồng hồ. Ta thay đổi các số như sau: Mỗi lần chọn một cạnh bất kỳ rồi cộng mỗi số ở hai đỉnh thuộc cạnh đó với cùng một số nguyên nào đó. Hỏi sau một số lần thay đổi như thế thì 6 số mới ở các đỉnh của lục giác đều có thể bằng nhau không? Vì sao?
Hướng dẫn giải:
*Nhận xét: Đây là một bài toán thuộc chuyên đề Đại lượng bất biến (Invariant) rất đặc trưng và thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán THCS. Dạng toán này thoạt nhìn có vẻ phức tạp vì có vô số cách biến đổi, nhưng nếu ta tìm ra được một “đặc điểm” cốt lõi không bao giờ thay đổi sau mỗi bước đi, bài toán sẽ được giải quyết vô cùng ngắn gọn.
Lời giải chi tiết
Bước 1: Tìm kiếm đại lượng bất biến
Gọi $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ lần lượt là 6 số được ghi trên 6 đỉnh của lục giác đều theo chiều kim đồng hồ.
Ta xét biểu thức tổng đại số đan dấu của 6 số này:
$S = a_1 – a_2 + a_3 – a_4 + a_5 – a_6$
Theo quy tắc của đề bài, mỗi lần biến đổi ta sẽ chọn một cạnh bất kỳ (tức là chọn hai đỉnh kề nhau, ví dụ $a_i$ và $a_{i+1}$) và cộng vào cả hai đỉnh này cùng một số nguyên $c$.
Tuy nhiên, trong biểu thức $S$, hai đỉnh kề nhau luôn mang dấu trái ngược nhau (một số mang dấu dương, một số mang dấu âm).
Do đó, khi cộng cùng một số $c$, sự thay đổi của tổng $S$ sẽ là: $+c – c = 0$.
$\implies$ Kết luận quan trọng: Giá trị của biểu thức $S$ là một đại lượng không bao giờ thay đổi (đại lượng bất biến) sau bao nhiêu lần biến đổi đi chăng nữa.
Bước 2: Tính giá trị S lúc ban đầu
Ban đầu, 6 đỉnh được ghi 6 số chẵn liên tiếp. Gọi số chẵn đầu tiên là $2k$ (với $k \in \mathbb{Z}$).
Các số trên 6 đỉnh lần lượt theo chiều kim đồng hồ là: $2k, 2k+2, 2k+4, 2k+6, 2k+8, 2k+10$.
Thay các giá trị này vào biểu thức $S$, ta có:
$S_{\text{ban đầu}} = 2k – (2k+2) + (2k+4) – (2k+6) + (2k+8) – (2k+10)$
$S_{\text{ban đầu}} = 2k – 2k – 2 + 2k + 4 – 2k – 6 + 2k + 8 – 2k – 10$
$S_{\text{ban đầu}} = -2 – 2 – 2 = -6$
(Lưu ý: Nếu dải số chẵn liên tiếp giảm dần, ta sẽ tính ra $S_{\text{ban đầu}} = 6$. Dù thế nào thì $S_{\text{ban đầu}} \neq 0$).
Bước 3: Xét trạng thái lúc sau
Giả sử sau một số lần biến đổi, ta đạt được mục tiêu là 6 số trên các đỉnh của lục giác đều bằng nhau và cùng bằng một số nguyên $x$.
Khi đó, giá trị của biểu thức $S$ ở trạng thái này sẽ là:
$S_{\text{lúc sau}} = x – x + x – x + x – x = 0$
Bước 4: Đối chiếu và kết luận
Vì $S$ là đại lượng bất biến nên ta bắt buộc phải có:
$S_{\text{ban đầu}} = S_{\text{lúc sau}}$
Tuy nhiên, từ các bước trên ta thấy $-6 \neq 0$, điều này dẫn đến sự vô lý.
Trả lời: Không thể xảy ra trường hợp 6 số mới ở các đỉnh của lục giác đều bằng nhau.