Đề bồi dưỡng HSG Toán lớp 11 số 3 tập trung vào dãy số, cấp số cộng – cấp số nhân, giới hạn và tổ hợp. Đề được thiết kế khác nhóm lượng giác để giảm trùng lặp giữa các URL.
Mấu chốt cần nhận ra
- Dãy truy hồi cần tính vài số đầu để nhận quy luật rồi mới chứng minh.
- Cấp số cộng và cấp số nhân phải xác định đúng công sai hoặc công bội.
- Bài tổ hợp cần nói rõ chọn không thứ tự hay sắp xếp có thứ tự.
Đề bài
Bài 1: Cho cấp số cộng có u1=5, d=3. Tìm u20 và tổng 20 số hạng đầu.
Bài 2: Một cấp số nhân có u1=2, q=3. Tìm u8 và tổng 8 số hạng đầu.
Bài 3: Cho dãy u1=1, u(n+1)=2u(n)+1. Tính u5 và dự đoán công thức u(n).
Bài 4: Tính giới hạn lim(n→∞) (3n+2)/(2n−5).
Bài 5: Tính giới hạn lim(n→∞) [√(n²+n)−n].
Bài 6: Có 8 học sinh, chọn 3 bạn vào một ban không phân chức vụ. Có bao nhiêu cách?
Bài 7: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 lập bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
Lời giải chi tiết
Bài 1: u20=5+19×3=62. S20=20(5+62)/2=670.
Bài 2: u8=2×3^7=4374. S8=2(3^8−1)/(3−1)=3^8−1=6560.
Bài 3: u2=3, u3=7, u4=15, u5=31. Nhận ra u(n)=2^n−1. Kiểm tra: 2(2^n−1)+1=2^(n+1)−1, nên công thức đúng.
Bài 4: Chia tử và mẫu cho n: giới hạn bằng (3+2/n)/(2−5/n)→3/2.
Bài 5: Nhân liên hợp: √(n²+n)−n = n/[√(n²+n)+n] = 1/[√(1+1/n)+1]→1/2.
Bài 6: Không phân chức vụ nên số cách là C(8,3)=56.
Bài 7: Tận cùng 0 hoặc 5. Tận cùng 0: hàng nghìn chọn 5 cách (1–5), hai vị trí giữa chọn 4×3, được 60. Tận cùng 5: hàng nghìn chọn 4 cách (1–4), hai vị trí giữa chọn 4×3, được 48. Tổng 108 số.