Đề bồi dưỡng HSG Toán lớp 10 số 3 tập trung vào hàm số bậc hai, bất phương trình và vectơ – tọa độ. Đề yêu cầu giải thích điều kiện tham số và khai thác hình học giải tích ở mức phù hợp lớp 10.
Mấu chốt cần nhận ra
- Với tam thức bậc hai, dùng đỉnh, biệt thức hoặc dấu của hệ số tùy câu hỏi.
- Bất phương trình tham số cần xét khi nào tam thức không âm hoặc có hai nghiệm.
- Vectơ và tọa độ nên chuyển điều kiện hình học thành tích vô hướng, trung điểm hoặc khoảng cách.
Đề bài
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x)=2x²−8x+11.
Bài 2: Tìm m để phương trình x²−2mx+m+2=0 có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3: Giải bất phương trình (x−1)(x−4)≤0.
Bài 4: Cho A(1,2), B(5,−2). Tìm trung điểm M và độ dài AB.
Bài 5: Cho u=(2,−1), v=(m,4). Tìm m để u vuông góc v.
Bài 6: Tam giác ABC có A(0,0), B(6,0), C(2,4). Tính diện tích tam giác.
Bài 7: Tìm m để đường thẳng y=mx+1 cắt parabol y=x² tại hai điểm phân biệt có hoành độ cùng dấu.
Lời giải chi tiết
Bài 1: f=2(x−2)²+3 nên giá trị nhỏ nhất là 3 khi x=2.
Bài 2: Δ=(−2m)²−4(m+2)=4(m²−m−2)=4(m−2)(m+1). Có hai nghiệm phân biệt khi Δ>0, tức m<−1 hoặc m>2.
Bài 3: Hai nghiệm biên là 1 và 4, hệ số tích dương ngoài khoảng và âm trong khoảng. Nghiệm là 1≤x≤4.
Bài 4: M=((1+5)/2,(2−2)/2)=(3,0). AB=√[(4)²+(−4)²]=4√2.
Bài 5: u·v=2m−4. Vuông góc khi 2m−4=0 nên m=2.
Bài 6: BC không cần tính. Lấy AB làm đáy dài 6, khoảng cách từ C đến trục Ox là 4. Diện tích = 6×4/2=12.
Bài 7: Giao điểm thỏa x²−mx−1=0. Δ=m²+4>0 luôn có hai nghiệm phân biệt, nhưng tích hai nghiệm = −1<0 nên hai nghiệm luôn trái dấu. Vì vậy không có m thỏa yêu cầu cùng dấu.