Điều kiện tam thức có dấu cố định và các bài toán tham số.
Đề bài
Bài 1. Tìm m để x² − 2(m + 1)x + m² + 4 > 0 với mọi x thực.
Bài 2. Tìm m để bất phương trình x² − 2mx + m + 2 ≤ 0 vô nghiệm.
Bài 3. Xác định m để phương trình x² − (m+2)x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dương.
Bài 4. Tìm m để f(x)=x²−2mx+m²−4m+7 không âm với mọi x.
Lời giải chi tiết
Bài 1. Hoàn bình phương: f(x) = [x − (m+1)]² + 3 − 2m. Giá trị nhỏ nhất bằng 3 − 2m. f(x) > 0 với mọi x khi m < 3/2.
Bài 2. Parabol hướng lên; vô nghiệm khi giá trị nhỏ nhất > 0. fmin = m + 2 − m² > 0 ⇔ m² − m − 2 < 0 ⇔ −1 < m < 2.
Bài 3. Phân tích (x − 2)(x − m) = 0. Hai nghiệm 2 và m phân biệt và cùng dương khi m > 0, m ≠ 2. Cách Viète cũng cho tích 2m > 0, tổng m+2 > 0 và Δ = (m−2)² > 0.
Bài 4. f(x)=(x−m)²+7−4m, nên f(x)≥0 với mọi x ⇔7−4m≥0 ⇔m≤7/4. Tại m=7/4 dấu bằng xuất hiện ở x=m, vì thế trường hợp biên được nhận.
Lưu ý khi làm bài
Phân biệt “dương với mọi x” (>) với “không âm với mọi x” (≥); điều kiện về biệt thức khác nhau.