Từ hiệu hai bình phương đến lập phương của tổng và hiệu, các bài yêu cầu nhận ra hằng đẳng thức thích hợp để phân tích nhân tử hoặc rút gọn biểu thức.
Phương pháp cần nhớ
- Nhận diện hiệu hai bình phương, bình phương một tổng hoặc một hiệu để biến đổi đúng.
- Khi tìm cực trị, đưa biểu thức về một bình phương không âm cộng hoặc trừ hằng số.
- Tìm điều kiện xảy ra dấu bằng trước khi kết luận giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Đề bài
Bài 1: Phân tích x⁴−16 thành nhân tử hoàn toàn.
Bài 2: Rút gọn (x + 1)³ − (x − 1)³.
Bài 3: Chứng minh x² + y² + 1≥x + y + xy với mọi x, y. Trong lời giải, nêu rõ tính chất hoặc phép biến đổi quyết định.
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x² − 6x + 13.
Bài 5: Biết x + y = 5 và xy = 4. Tính x² + y² và x³ + y³.
Bài 6: Tìm x nguyên để x² − 5x + 6 = 0.
Lời giải chi tiết
Bài 1: x⁴−16 = (x² − 4)(x² + 4)=(x − 2)(x + 2)(x² + 4).
Bài 2: Khai triển hoặc dùng hiệu lập phương: kết quả 6x² + 2.
Bài 3: 2 lần hiệu bằng (x − y)² + (x − 1)² + (y − 1)²≥0, nên bất đẳng thức đúng.
Bài 4: A = (x − 3)² + 4≥4, đạt tại x = 3.
Bài 5: x² + y² = (x + y)² − 2xy = 25 − 8 = 17. x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y) = 125 − 60 = 65.
Bài 6: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0. Tích bằng 0 khi x − 2 = 0 hoặc x − 3 = 0, nên x = 2 hoặc x = 3. Cả hai đều là số nguyên và thỏa mãn phương trình.