Bài toán thực tế lập hệ phương trình thi vào 10: Dạng nâng cao đưa dữ kiện thực tế về hai đại lượng chưa biết, lập hệ có ý nghĩa và kiểm tra điều kiện của nghiệm. Các tình huống gồm vé, chuyển động, công việc và pha trộn.
Phương pháp cần nhớ
- Chọn ẩn kèm đơn vị và điều kiện trước khi lập hệ.
- Mỗi phương trình phải tương ứng một dữ kiện độc lập; tránh lập hai phương trình thực chất giống nhau.
- Sau khi giải hệ, đối chiếu nghiệm với số lượng, thời gian hoặc nồng độ thực tế.
Đề bài
Bài 1: Một rạp bán 260 vé gồm vé người lớn 120 nghìn đồng và vé học sinh 80 nghìn đồng, thu 25,6 triệu đồng. Tính số vé mỗi loại.
Bài 2: Hai xe khởi hành cùng lúc từ hai điểm cách nhau 210 km và đi ngược chiều. Sau 2 giờ gặp nhau. Vận tốc xe thứ nhất hơn xe thứ hai 15 km/h. Tìm vận tốc mỗi xe.
Bài 3: Hai đội cùng làm một công việc. Nếu đội A làm 4 ngày và đội B làm 6 ngày thì hoàn thành 2/3 công việc; nếu A làm 3 ngày và B làm 8 ngày thì hoàn thành 7/10 công việc. Tìm phần công việc mỗi đội làm trong một ngày.
Bài 4: Pha dung dịch 10% và 25% để được 12 kg dung dịch 20%. Cần bao nhiêu ki-lô-gam mỗi loại?
Bài 5: Một số có hai chữ số, tổng hai chữ số bằng 11. Nếu đổi chỗ hai chữ số thì số mới nhỏ hơn số cũ 27. Tìm số.
Bài 6: Một lớp mua 40 quyển vở gồm loại 8 nghìn và 12 nghìn, tổng tiền 400 nghìn. Tính số vở mỗi loại.
Bài 7: Hai vòi cùng chảy vào bể trong 4 giờ thì đầy. Nếu vòi A chảy 3 giờ và vòi B chảy 6 giờ thì cũng đầy. Tìm thời gian mỗi vòi chảy riêng để đầy bể.
Bài 8: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 100 m. Nếu tăng chiều dài 5 m và giảm chiều rộng 5 m thì diện tích giảm 75 m². Tìm kích thước ban đầu.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Gọi x vé người lớn, y vé học sinh. Có x+y=260 và 120x+80y=25600 (nghìn đồng). Chia phương trình tiền cho 40: 3x+2y=640. Trừ 2(x+y)=520 được x=120, y=140. Đáp số: 120 vé người lớn, 140 vé học sinh.
Bài 2: Gọi vận tốc xe chậm y, xe nhanh x. Có x+y=210:2=105 và x−y=15. Giải được x=60, y=45. Đáp số: 60 km/h và 45 km/h.
Bài 3: Gọi năng suất ngày của A là x, B là y (phần công việc/ngày). Hệ: 4x+6y=2/3; 3x+8y=7/10. Nhân phương trình đầu với 3: 12x+18y=2; nhân phương trình sau với 10: 30x+80y=7. Khử x: nhân phương trình đầu với 5 được 60x+90y=10, nhân phương trình sau với 2 được 60x+160y=14; suy ra 70y=4 nên y=2/35. Thế vào 4x+6y=2/3 được x=17/210. Vậy năng suất A = 17/210, B = 2/35 công việc/ngày; thời gian làm riêng tương ứng 210/17 ngày và 35/2 ngày.
Bài 4: Gọi x kg dung dịch 10%, y kg 25%. Hệ x+y=12 và 0,10x+0,25y=2,4. Thế x=12−y: 1,2−0,1y+0,25y=2,4 →0,15y=1,2 → y=8, x=4. Đáp số 4 kg loại 10%, 8 kg loại 25%.
Bài 5: Gọi hàng chục x, hàng đơn vị y. Có x+y=11 và (10x+y)−(10y+x)=27, tức 9(x−y)=27 →x−y=3. Giải hệ được x=7,y=4. Số là 74.
Bài 6: Gọi x vở 8 nghìn, y vở 12 nghìn. x+y=40; 8x+12y=400. Chia 4:2x+3y=100. Trừ 2x+2y=80 được y=20, x=20. Đáp số 20 quyển mỗi loại.
Bài 7: Gọi năng suất vòi A là x, B là y bể/giờ. Cùng chảy 4 giờ: x+y=1/4. Dữ kiện khác:3x+6y=1. Từ 3x+3y=3/4, suy ra 3y=1/4 → y=1/12; x=1/6. Vòi A chảy riêng 6 giờ, B 12 giờ.
Bài 8: Gọi dài a, rộng b. a+b=50. Diện tích mới trừ cũ: (a+5)(b−5)−ab=5b−5a−25=−75, nên a−b=10. Giải hệ a+b=50, a−b=10 được a=30 m, b=20 m.