Một số bài rút gọn biểu thức nâng cao – Toán lớp 9 được nâng thành chuỗi bài phải nhìn cấu trúc liên hợp, đặt t=√x, kiểm tra điều kiện xác định và giải ngược sau khi rút gọn. Không còn dừng ở một phép khử căn đơn lẻ.
Điểm khó cần nhận ra
- Điều kiện xác định phải được ghi trước khi rút gọn vì phép khử nhân tử có thể làm mất điều kiện x≠1.
- Đặt t=√x giúp nhận ra hiệu hai bình phương t² − 1 và giảm lỗi quy đồng.
- Sau khi giải phương trình chứa căn, luôn thử lại nghiệm vào biểu thức ban đầu.
Đề bài
Bài 1: Rút gọn A = (√x + 1)/(√x − 1) − (√x − 1)/(√x + 1), với x≥0, x≠1.
Bài 2: Rút gọn B = (x+√x + 1)/(x − 1) − 1/(√x − 1), với x≥0, x≠1.
Bài 3: Rút gọn C = √x/(√x + 1) + 1/(√x − 1), với x≥0, x≠1.
Bài 4: Tìm x≥0, x≠1 để (x + 1)/(x − 1) = 3.
Bài 5: Tìm x≥0 thỏa √(x + 9) − √x = 1.
Bài 6: Cho x≥0, x≠1 và P = (√x + 1)/(√x − 1) + (√x − 1)/(√x + 1). Rút gọn P rồi tìm x để P = 10/3.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Đặt t=√x. Quy đồng: A = [(t + 1)² − (t − 1)²]/(t² − 1) = 4t/(t² − 1). Trả lại x: A = 4√x/(x − 1).
Bài 2: Đặt t=√x. Ta có B = (t² + t + 1)/(t² − 1) − (t + 1)/(t² − 1) = t²/(t² − 1) = x/(x − 1).
Bài 3: Đặt t=√x. C = [t(t − 1) + (t + 1)]/(t² − 1) = (t² + 1)/(t² − 1) = (x + 1)/(x − 1).
Bài 4: Giải x + 1 = 3x − 3, suy ra 2x = 4 nên x = 2. Giá trị này thỏa điều kiện xác định.
Bài 5: Chuyển vế: √(x + 9)=√x + 1. Bình phương được x + 9 = x + 1 + 2√x, nên 2√x = 8, √x = 4 và x = 16. Thử lại: 5 − 4 = 1.
Bài 6: Đặt t=√x. P = [(t + 1)² + (t − 1)²]/(t² − 1) = 2(t² + 1)/(t² − 1) = 2(x + 1)/(x − 1). Giải 2(x + 1)/(x − 1) = 10/3: 6x + 6 = 10x − 10, suy ra x = 4. Kiểm tra x = 4 hợp lệ.
Tự kiểm tra sau khi giải
Thử giải lại mỗi bài mà không đặt t để thấy cách nào ngắn hơn. Với bài có điều kiện x≠1, kiểm tra điều kiện sau cùng là bắt buộc.
Hình minh họa
Nhiều bài tập quá