Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Hình học 9 được nâng lên đúng mức bồi dưỡng HSG: mỗi bài cần nhận ra cấu hình, chọn định lí nối dữ kiện và trình bày chuỗi suy luận. Các bài chỉ thay số vào một hệ thức đã bị loại khỏi phần trọng tâm.
Điểm khó cần nhận ra
- Ưu tiên các chuỗi suy luận hai tầng: nội tiếp → sức mạnh điểm; tiếp tuyến → cát tuyến; tỉ số → Ceva.
- Khi tính độ dài, phải chỉ rõ hệ thức xuất phát từ đâu trước khi thay số.
- Bài cực trị hình học cần chuyển điều kiện hình học thành quan hệ đại số rồi mới đánh giá.
Đề bài
Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh AE·AC = AF·AB và từ đó suy ra A có cùng sức mạnh đối với đường tròn đi qua B, C, E, F.
Bài 2: Từ điểm M ngoài đường tròn (O;R), kẻ hai tiếp tuyến MA, MB. Đường thẳng MO cắt đường tròn tại C, D với C nằm giữa M và D. Chứng minh MA² = MC·MD. Nếu OM = 13 và R = 5, tính MA.
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại A cắt BC kéo dài tại T. Chứng minh TA² = TB·TC và dùng hệ thức đó để tính TA khi TB = 4, TC = 9.
Bài 4: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền thành BH = 4, CH = 9. Tính AH, AB, AC.
Bài 5: Trong tam giác ABC, D∈BC, E∈CA, F∈AB và AD, BE, CF đồng quy. Biết BD/DC = 3/2, CE/EA = 4/5. Tính AF/FB.
Bài 6: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 6 và 8. Hình chữ nhật nội tiếp có hai cạnh nằm trên hai cạnh góc vuông. Chứng minh diện tích hình chữ nhật không vượt quá 12.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Do BE ⟂ AC và CF ⟂ AB nên ∠BEC = ∠BFC = 90°, suy ra BCEF nội tiếp. Hai cát tuyến từ A là AEC và AFB nên theo định lí cát tuyến, AE·AC = AF·AB. Tích này chính là sức mạnh của A đối với đường tròn BCEF.
Bài 2: Theo định lí tiếp tuyến–cát tuyến từ điểm M, MA² = MC·MD. Với OM = 13, R = 5 thì MC = 13 − 5 = 8 và MD = 13 + 5 = 18. Vì vậy MA² = 8 × 18 = 144, suy ra MA = 12.
Bài 3: Từ điểm T, TA là tiếp tuyến còn TBC là cát tuyến nên theo định lí tiếp tuyến–cát tuyến TA² = TB·TC. Với TB = 4, TC = 9, ta có TA² = 36 nên TA = 6.
Bài 4: BC = 13. Hệ thức lượng trong tam giác vuông cho AH² = BH·CH = 36 nên AH = 6. Ngoài ra AB² = BH·BC = 4 × 13 = 52 nên AB = 2√13; AC² = CH·BC = 9 × 13 = 117 nên AC = 3√13.
Bài 5: Theo Ceva: (BD/DC)(CE/EA)(AF/FB) = 1. Ta có (3/2)(4/5) = 6/5 nên AF/FB = 5/6.
Bài 6: Gọi cạnh hình chữ nhật là x, y. Do đỉnh còn lại nằm trên cạnh huyền nên x/6 + y/8 = 1. Đặt u = x/6, v = y/8, ta có u + v = 1. Diện tích S = xy = 48uv≤48·(u + v)²/4 = 12. Dấu bằng khi u = v = 1/2.
Tự kiểm tra sau khi giải
Thử che tên định lí trong lời giải và tự nhận dạng lại từ hình. Nếu chỉ nhớ công thức mà không chỉ ra được vì sao cấu hình thỏa điều kiện áp dụng thì chưa đạt mức HSG.
Hình minh họa
