Đề bồi dưỡng HSG Toán lớp 11 số 1 thiên về lượng giác, xác suất và hình học không gian. Các câu yêu cầu biến đổi có mục tiêu, không phải chỉ thay số vào công thức.
Mấu chốt cần nhận ra
- Phương trình lượng giác cần xét chu kì và viết nghiệm tổng quát.
- Xác suất cổ điển phải xác định không gian mẫu và số trường hợp thuận lợi.
- Hình học không gian ưu tiên quan hệ song song, giao tuyến và thiết diện.
Đề bài
Bài 1: Giải phương trình sin x = 1/2.
Bài 2: Giải phương trình 2cos²x−3cos x+1=0.
Bài 3: Rút gọn A = (1−cos2x)/(2sin²x) tại những x biểu thức xác định.
Bài 4: Gieo hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất tổng số chấm bằng 8.
Bài 5: Từ hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh, lấy ngẫu nhiên 2 bi không hoàn lại. Tính xác suất lấy được hai bi cùng màu.
Bài 6: Cho tứ diện ABCD. M,N lần lượt là trung điểm AB, AC. Chứng minh MN song song BC.
Bài 7: Trong hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N là trung điểm SA, SB. Xác định quan hệ giữa MN và CD.
Lời giải chi tiết
Bài 1: sin x=1/2 khi x=π/6+2kπ hoặc x=5π/6+2kπ, k∈Z.
Bài 2: Đặt t=cos x: 2t²−3t+1=(2t−1)(t−1)=0. Do đó cos x=1/2 hoặc cos x=1. Suy ra x=±π/3+2kπ hoặc x=2kπ.
Bài 3: 1−cos2x=2sin²x nên A=1 với mọi x mà sin x≠0.
Bài 4: Có 36 kết quả đồng khả năng. Tổng 8 gồm (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2): 5 trường hợp. Xác suất 5/36.
Bài 5: Tổng cách chọn C(8,2)=28. Hai đỏ: C(5,2)=10; hai xanh: C(3,2)=3. Xác suất =13/28.
Bài 6: Trong tam giác ABC, M,N là trung điểm AB,AC nên MN là đường trung bình, do đó MN∥BC.
Bài 7: Trong tam giác SAB, M,N là trung điểm nên MN∥AB. Vì ABCD là hình bình hành nên AB∥CD. Suy ra MN∥CD.