Đề bồi dưỡng HSG Toán lớp 10 số 1 thiên về mệnh đề – tập hợp, lượng giác trong tam giác, bài toán đếm và tối ưu đại số. Nội dung được tách khỏi các đề còn lại để tránh lặp khuôn.
Mấu chốt cần nhận ra
- Mệnh đề phải phân biệt điều kiện cần, đủ và phản ví dụ.
- Lượng giác dùng định lí cos, sin hoặc công thức diện tích đúng bối cảnh.
- Tối ưu đại số lớp 10 có thể dùng bình phương không âm.
Đề bài
Bài 1: Xét mệnh đề: “Nếu n² chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3” với n nguyên. Chứng minh mệnh đề.
Bài 2: Cho A={1,2,3,4,5}, B={2,4,6}. Tìm A∩B, A∪B và A\B.
Bài 3: Tam giác có hai cạnh 5 và 7, góc xen giữa 60°. Tính cạnh còn lại.
Bài 4: Tam giác ABC có a=8, b=6, c=10. Chứng minh tam giác vuông và tính diện tích.
Bài 5: Từ 5 học sinh chọn một nhóm 3 bạn. Có bao nhiêu cách?
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của P=x²+y² biết x+y=10.
Bài 7: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 60 m. Tìm diện tích lớn nhất và kích thước tương ứng.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Nếu n không chia hết cho 3 thì n có số dư 1 hoặc 2 khi chia 3; bình phương đều dư 1. Điều này trái với n² chia hết cho 3. Vậy n phải chia hết cho 3.
Bài 2: A∩B={2,4}; A∪B={1,2,3,4,5,6}; A\B={1,3,5}.
Bài 3: Theo định lí cos: c²=5²+7²−2×5×7×cos60°=25+49−35=39. Vậy c=√39.
Bài 4: 6²+8²=36+64=100=10² nên tam giác vuông với cạnh huyền 10. Diện tích = 6×8/2=24.
Bài 5: Số cách là C(5,3)=10.
Bài 6: x²+y²=(x+y)²−2xy. Hoặc dùng (x−y)²≥0 ⇒ x²+y²≥(x+y)²/2=50. Dấu bằng khi x=y=5.
Bài 7: Nửa chu vi là 30, gọi hai cạnh x,y thì x+y=30. Tích xy lớn nhất khi x=y=15, nên diện tích lớn nhất 225 m².