Bất đẳng thức Bunyakovsky (trong tài liệu quốc tế thường gọi là Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) là “vũ khí hạng nặng” thứ hai bên cạnh BĐT Cauchy (AM-GM).
Nếu BĐT Cauchy chuyên trị các biểu thức chứa tích/tổng của các số dương, thì Bunyakovsky lại cực kỳ mạnh mẽ vì nó áp dụng được cho mọi số thực (cả âm, dương và bằng 0), thường dùng để giải quyết các bài toán có chứa bình phương hoặc căn bậc hai của một tổng.
Dưới đây là cấu trúc và cách vận dụng BĐT này:
Nội dung Bất đẳng thức Bunyakovsky (Cauchy-Schwarz)
Bất đẳng thức Bunyakovsky (Cauchy-Schwarz) phát biểu rằng: Bình phương của tổng các tích luôn nhỏ hơn hoặc bằng tích của các tổng bình phương.
- Dạng cơ bản nhất (cho 2 cặp số $a,b$ và $x,y$ bất kỳ):
$(ax + by)^2 \le (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$
- Dạng 3 cặp số (cho $a,b,c$ và $x,y,z$ bất kỳ):
$(ax + by + cz)^2 \le (a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)$
- Mẹo ghi nhớ: Hãy tưởng tượng bạn có hai bộ số. Vế trái là bạn “bắt cặp” nhân từng số của bộ này với bộ kia, cộng lại rồi mới bình phương. Vế phải là bạn bình phương từng số trong mỗi bộ, cộng lại rồi nhân hai cụm với nhau. Vế phải luôn “thắng” (lớn hơn hoặc bằng).
Điều kiện xảy ra dấu “=” (Điểm rơi)
Việc xác định điểm rơi của Bunyakovsky dễ hơn Cauchy một chút, nó xảy ra khi hai bộ số tỷ lệ thuận với nhau.
- Với 2 cặp số: Dấu “=” xảy ra khi $\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}$ (Quy ước: nếu mẫu bằng $0$ thì tử tương ứng cũng phải bằng $0$).
- Với 3 cặp số: Dấu “=” xảy ra khi $\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y} = \dfrac{c}{z}$.
Ý nghĩa hình học (Góc nhìn Vector)
Để hiểu vì sao Bunyakovsky luôn đúng, cách trực quan nhất là dùng hình học vector.
Giả sử bạn có 2 vector trên mặt phẳng tọa độ: Vector $\vec{u} = (a, b)$ và Vector $\vec{v} = (x, y)$.
- Vế trái $(ax + by)^2$: Chính là bình phương của Tích vô hướng giữa hai vector.
- Vế phải $(a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$: Chính là tích bình phương Độ dài của hai vector.
Toán học chứng minh được rằng: Độ lớn của tích vô hướng luôn nhỏ hơn hoặc bằng tích các độ dài. Dấu “=” chỉ xảy ra khi hai vector này cùng phương (nằm trên cùng một đường thẳng), tức là tọa độ của chúng tỷ lệ với nhau ($\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}$).
Bất đẳng thức Schwarz (Hệ quả “Vàng” trong đề thi THCS)
Từ BĐT Bunyakovsky, người ta suy ra một hệ quả cực kỳ nổi tiếng, thường được gọi là BĐT Schwarz dạng phân thức (hay BĐT Cộng Mẫu Số). Trong các đề thi tuyển sinh lớp 10, dạng này xuất hiện dày đặc.
- Công thức (với điều kiện các mẫu số $x, y > 0$):
$\dfrac{a^2}{x} + \dfrac{b^2}{y} \ge \dfrac{(a + b)^2}{x + y}$
- Mở rộng cho 3 phân số ($x, y, z > 0$):
$\dfrac{a^2}{x} + \dfrac{b^2}{y} + \dfrac{c^2}{z} \ge \dfrac{(a + b + c)^2}{x + y + z}$
- Dấu “=” xảy ra khi: $\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y} = \dfrac{c}{z}$.
Ví dụ ứng dụng cực nhanh:
Cho $x, y > 0$ và $x + y = 1$. Tìm GTNN của $A = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$.
Cách giải bằng hệ quả Schwarz:
Viết lại biểu thức dưới dạng bình phương trên tử:
$A = \dfrac{1^2}{x} + \dfrac{1^2}{y}$
Áp dụng BĐT cộng mẫu:
$A \ge \dfrac{(1 + 1)^2}{x + y} = \dfrac{4}{1} = 4$
Vậy GTNN của $A$ là $4$. Dấu “=” xảy ra khi $\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{y} \Rightarrow x = y$. Kết hợp $x+y=1 \Rightarrow x = y = \dfrac{1}{2}$.
Nhanh gọn và mạnh mẽ hơn rất nhiều so với việc quy đồng!