Bất đẳng thức Bunyakovsky (Cauchy-Schwarz) được rà theo tiêu chí bài nâng cao THCS: chọn cận đủ mạnh và xác định đúng điều kiện xảy ra dấu bằng. Các ví dụ một bước được thay bằng bài cần biến đổi, xét điều kiện, chứng minh hoặc chặn miền nghiệm.
Điểm khó cần nhận ra
- Độ khó của chuyên đề đến từ chọn cận đủ mạnh và xác định đúng điều kiện xảy ra dấu bằng.
- Học sinh nên tự dự đoán kết quả hoặc phạm vi kết quả trước khi tính chi tiết.
- Sau khi giải xong cần thay ngược hoặc dùng một cách kiểm tra độc lập.
Đề bài
Bài 1: Cho a,b,c>0. Chứng minh a²/(b + c) + b²/(c + a) + c²/(a + b) ≥ (a + b + c)/2.
Bài 2: Cho x,y,z>0 và x + y + z = 6. Tìm min 1/x + 4/y + 9/z.
Bài 3: Cho a,b>0. Chứng minh (a + b)(9/a + 4/b)≥25.
Bài 4: Cho x,y,z>0. Chứng minh (x² + y² + z²)(1/x² + 1/y² + 1/z²)≥9.
Bài 5: Cho a,b,c>0 và abc = 1. Chứng minh a²/b + b²/c + c²/a ≥ a + b + c.
Bài 6: Cho x,y>0, x + y = 10. Tìm min 4/x + 9/y.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Theo Cauchy dạng Engel, vế trái ≥ (a + b + c)² / [2(a + b + c)] = (a + b + c)/2. Dấu bằng khi a = b = c.
Bài 2: Cauchy Engel: 1/x + 4/y + 9/z ≥ (1 + 2 + 3)²/(x + y + z) = 36/6 = 6. Dấu bằng khi x:y:z = 1:2:3, tức x = 1,y = 2,z = 3.
Bài 3: Cauchy: (a + b)(9/a + 4/b) ≥ (3 + 2)² = 25. Dấu bằng khi a:b = 3:2.
Bài 4: Áp dụng Cauchy cho ba cặp x và 1/x: tích hai tổng ≥(1 + 1 + 1)² = 9. Dấu bằng khi x² = y² = z²; với dương thì x = y = z.
Bài 5: Engel: vế trái ≥(a + b + c)²/(a + b + c) = a + b + c. Dấu bằng khi a/b = b/c = c/a, suy ra a = b = c = 1.
Bài 6: Cauchy Engel cho ≥(2 + 3)²/10 = 5/2. Dấu bằng khi x:y = 2:3, nên x = 4,y = 6.