Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) lớp 9 – Kỹ thuật và bài tập nâng cao được nâng khỏi các ví dụ một bước. Trọng tâm là biến đổi biểu thức về đúng nhóm số dương để AM-GM cho cận mạnh và đồng thời khớp điều kiện dấu bằng.
Điểm khó cần nhận ra
- Không áp dụng AM-GM chỉ vì thấy các số dương; phải kiểm tra cận thu được có đủ mạnh cho mục tiêu hay không.
- Kỹ thuật tách một hạng thành nhiều phần thường dùng để điều chỉnh tỉ lệ tại dấu bằng.
- Sau khi tìm cận, luôn giải điều kiện dấu bằng và kiểm tra lại ràng buộc của đề.
Đề bài
Bài 1: Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của (x + 1)(1 + 4/x).
Bài 2: Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8.
Bài 3: Cho x, y > 0, x + 2y = 12. Tìm giá trị lớn nhất của xy².
Bài 4: Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của x² + 4/x.
Bài 5: Cho a, b > 0 và a + b = 10. Tìm giá trị lớn nhất của a²b.
Bài 6: Cho a, b, c > 0. Chứng minh a/b + b/c + c/a ≥ 3 và xác định điều kiện xảy ra dấu bằng.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Khai triển theo hướng có lợi: (x + 1)(1 + 4/x) = x + 5 + 4/x. Theo AM-GM, x + 4/x ≥ 4, nên biểu thức ≥ 9. Dấu bằng khi x = 2.
Bài 2: AM-GM cho 1 + a ≥ 2√a, tương tự 1 + b ≥ 2√b và 1 + c ≥ 2√c. Nhân ba bất đẳng thức: (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8√(abc) = 8. Dấu bằng khi a = b = c = 1.
Bài 3: Viết điều kiện thành x + y + y = 12. Theo AM-GM, ∛(xy²) ≤ (x + y + y)/3 = 4, nên xy² ≤ 64. Dấu bằng khi x = y = 4, đúng với x + 2y = 12.
Bài 4: Tách 4/x thành 2/x + 2/x. Áp dụng AM-GM cho ba số dương x², 2/x, 2/x: x² + 4/x ≥ 3∛4. Dấu bằng khi x² = 2/x, tức x = ∛2.
Bài 5: Viết a + b = a/2 + a/2 + b = 10. Theo AM-GM, ∛[(a²b)/4] ≤ 10/3, nên a²b ≤ 4·(10/3)³ = 4 000/27. Dấu bằng khi a/2 = b, tức a = 20/3, b = 10/3.
Bài 6: Ba số dương a/b, b/c, c/a có tích bằng 1. Theo AM-GM, tổng của chúng không nhỏ hơn 3∛1 = 3. Dấu bằng khi a/b = b/c = c/a = 1, tức a = b = c.
Tự kiểm tra sau khi giải
Với mỗi bài, hãy thử dự đoán trước điểm xảy ra dấu bằng. Nếu điều kiện dấu bằng của AM-GM mâu thuẫn với điều kiện đề, cận đang dùng chưa tối ưu.