Bất đẳng thức Cauchy (thường được gọi là Bất đẳng thức AM-GM trong tài liệu quốc tế) là một trong những định lý nền tảng và quan trọng nhất trong đại số.
Đặc biệt thường xuyên xuất hiện trong các bài toán chứng minh và tìm cực trị ở cấp THCS.
Tên gọi “Cauchy” ở Việt Nam thường dùng để chỉ bất đẳng thức liên hệ giữa Trung bình cộng (AM – Arithmetic Mean) và Trung bình nhân (GM – Geometric Mean).
Nội dung Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM)
Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) khẳng định rằng: Trung bình cộng của các số không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng.
- Cho 2 số $a, b \ge 0$:
$\dfrac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab} \quad \text{hay viết gọn là} \quad a + b \ge 2\sqrt{ab}$
- Cho 3 số $a, b, c \ge 0$:
$\dfrac{a + b + c}{3} \ge \sqrt[3]{abc} \quad \text{hay viết gọn là} \quad a + b + c \ge 3\sqrt[3]{abc}$
- Trường hợp tổng quát (cho $n$ số $x_1, x_2, …, x_n \ge 0$):
$\dfrac{x_1 + x_2 + … + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 … x_n}$
Điều kiện xảy ra dấu “=” (Điểm rơi)
Như đã thảo luận ở phần trước, điểm rơi là yếu tố quan trọng nhất.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tất cả các biến bằng nhau.
- Với 2 số: Dấu “=” khi $a = b$.
- Với 3 số: Dấu “=” khi $a = b = c$.
Ý nghĩa hình học của BĐT Cauchy (2 số)
Cách dễ nhất để hiểu vì sao $\dfrac{a+b}{2}$ luôn lớn hơn hoặc bằng $\sqrt{ab}$ là thông qua hình học.
Giả sử bạn có một đoạn thẳng chia làm hai phần có độ dài $a$ và $b$. Lấy đoạn thẳng này làm đường kính để vẽ một nửa đường tròn.
- Trung bình cộng $\dfrac{a+b}{2}$ chính là độ dài bán kính của đường tròn đó.
- Trung bình nhân $\sqrt{ab}$ chính là độ dài của đường vuông góc kẻ từ điểm chia $(a, b)$ lên cắt nửa đường tròn.
Vì bán kính luôn là đoạn thẳng dài nhất nối từ tâm đến đường tròn, nên $\dfrac{a+b}{2}$ luôn lớn hơn hoặc bằng $\sqrt{ab}$. Hai đoạn này chỉ bằng nhau khi đường vuông góc trùng với bán kính, tức là điểm chia nằm ngay chính giữa tâm (khi đó $a = b$).
Hệ quả Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) thường gặp trong giải toán
Từ BĐT Cauchy cơ bản, người ta suy ra một số hệ quả rất tiện lợi khi làm bài:
- Tổng của một số dương và nghịch đảo của nó: $a + \dfrac{1}{a} \ge 2$ (với mọi $a > 0$).
- Tích không vượt quá bình phương trung bình cộng: $ab \le \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$.
- Bất đẳng thức phân thức (đặc biệt hữu dụng): $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{a+b}$ (với $a, b > 0$).