Hướng dẫn chung để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức THCS nên bắt đầu từ việc nhận dạng cấu trúc, không phải chọn một công thức theo tên. Bộ bài dưới đây rèn bốn hướng chính: bình phương không âm, Cauchy dạng Engel, AM-GM và khai thác điều kiện tổng hoặc tích.
Cách chọn hướng giải
- Nếu có tổng các phân thức với tử là bình phương, thử Cauchy dạng Engel.
- Nếu có tích cố định hoặc cần tìm min của A + B/x, thử AM-GM và kiểm tra dấu bằng.
- Nếu có tổng cố định, hãy biến mục tiêu về tích hoặc tổng bình phương để tìm cận.
- Một cận chỉ có giá trị khi điều kiện xảy ra dấu bằng phù hợp với giả thiết.
Đề bài
Bài 1: Cho a, b, c > 0. Chứng minh a^2/(a + b) + b^2/(b + c) + c^2/(c + a) ≥ (a + b + c)/2.
Bài 2: Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh x^2 + y^2 + z^2 ≥ x + y + z.
Bài 3: Cho x, y > 0 và x + y = 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của x^2/y + y^2/x.
Bài 4: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1/a + 4/b + 9/c.
Bài 5: Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của 3x + 12/x.
Bài 6: Cho a, b, c > 0 và abc = 8. Chứng minh a + b + c ≥ 6.
Bài 7: Cho x, y > 0 và 2x + y = 12. Tìm giá trị lớn nhất của x^2y.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Theo Cauchy dạng Engel, vế trái không nhỏ hơn (a + b + c)^2 / [(a + b) + (b + c) + (c + a)] = (a + b + c)^2 / [2(a + b + c)] = (a + b + c)/2. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Bài 2: Theo Cauchy, x^2 + y^2 + z^2 ≥ (x + y + z)^2/3. Mặt khác AM-GM từ xyz = 1 cho x + y + z ≥ 3. Vì s = x + y + z ≥ 3 nên s^2/3 ≥ s. Do đó x^2 + y^2 + z^2 ≥ x + y + z. Dấu bằng khi x = y = z = 1.
Bài 3: Cauchy dạng Engel cho x^2/y + y^2/x ≥ (x + y)^2/(x + y) = x + y = 12. Dấu bằng khi x/y = y/x, tức x = y = 6. Vậy giá trị nhỏ nhất là 12.
Bài 4: Viết 1/a + 4/b + 9/c = 1^2/a + 2^2/b + 3^2/c. Theo Cauchy Engel, biểu thức ≥ (1 + 2 + 3)^2/(a + b + c) = 36/6 = 6. Dấu bằng khi a : b : c = 1 : 2 : 3; với tổng bằng 6 ta có a = 1, b = 2, c = 3.
Bài 5: Theo AM-GM cho hai số dương 3x và 12/x: 3x + 12/x ≥ 2√(36) = 12. Dấu bằng khi 3x = 12/x, tức x^2 = 4 và x = 2. Vậy min bằng 12.
Bài 6: Theo AM-GM, a + b + c ≥ 3∛(abc) = 3∛8 = 6. Dấu bằng khi a = b = c = 2.
Bài 7: Điều kiện 2x + y = 12 có thể viết thành x + x + y = 12. Theo AM-GM, ∛(x^2y) ≤ (x + x + y)/3 = 4, nên x^2y ≤ 64. Dấu bằng khi x = x = y, tức x = y = 4, thỏa điều kiện. Vậy giá trị lớn nhất là 64.
Tự kiểm tra sau khi giải
Với mỗi bài, hãy ghi riêng điều kiện xảy ra dấu bằng. Nếu cận tìm được nhưng không thể đạt dưới giả thiết, đó chưa phải giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất cần tìm.