Bài toán: Một cửa hàng kinh doanh giày nhập khẩu với giá vốn là 400000 đồng / 1 đôi. Qua khảo sát, cửa hàng nhận thấy: nếu bán với giá 600000 đồng/ 1 đôi thì mỗi tháng bán được 120 đôi. Tuy nhiên, cứ mỗi lần tăng giá bán thêm 10000 đồng/ 1 đôi thì số lượng giày bán ra mỗi tháng sẽ giảm đi 5 đôi. Hỏi cửa hàng nên bán mỗi đôi giày với giá bao nhiêu để thu được lợi nhuận hàng tháng là lớn nhất?
Hướng dẫn giải:
Với bài toán bán giày này, cách giải chuẩn chỉnh nhất của chương trình Toán 9 chính là dạng “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình. Dưới đây là các bước trình bày chi tiết theo đúng phong cách thi vào 10 nhé:
Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện
Gọi $x$ là số lần cửa hàng tăng giá thêm 10000 đồng.
- Điều kiện: Vì mỗi lần tăng giá số giày bán ra giảm 5 đôi, để cửa hàng vẫn bán được giày thì $120 – 5x > 0 \implies x < 24$. (Về mặt thực tế $x$ là số nguyên dương, nhưng ta vẫn có thể giải trên tập số thực).
Bước 2: Biểu diễn các đại lượng qua ẩn $x$
- Sau $x$ lần tăng, giá bán mới của một đôi giày là: $600000 + 10000x$ (đồng).
- Lợi nhuận thu được khi bán 1 đôi giày (Giá bán trừ đi giá vốn 400000) là:
$( 600000+10000x)-400000=200000+10000x$ (đồng).
- Số lượng giày bán ra được trong một tháng lúc này là: $120 – 5x$ (đôi).
Bước 3: Lập hàm số lợi nhuận và tìm giá trị lớn nhất
Gọi $y$ là tổng lợi nhuận hàng tháng của cửa hàng. Ta có phương trình lợi nhuận (bằng lợi nhuận 1 đôi nhân với số lượng bán ra):
$y = (200000 + 10000x)(120 – 5x)$
Tiến hành nhân tung và rút gọn phương trình bậc hai này:
$y = 10000(20 + x) \cdot 5(24 – x)$
$y = 50000 \cdot (20 + x)(24 – x)$
$y = 50000 \cdot (480 – 20x + 24x – x^2)$
$y = 50000 \cdot (-x^2 + 4x + 480)$
$y = 50000 \cdot \left[ -(x^2 – 4x) + 480 \right]$
$y = 50000 \cdot \left[ -(x^2 – 4x + 4) + 4 + 480 \right]$
$y = 50000 \cdot \left[ 484 – (x – 2)^2 \right]$
$y = 24.200000 – 50000(x – 2)^2$
Bước 4: Biện luận và kết luận
Vì bình phương của mọi số đều không âm, tức là $(x – 2)^2 \ge 0$ với mọi $x$.
Suy ra: $50000(x – 2)^2 \ge 0$
Do đó: $y \le 24.200000$
Dấu “=” (lợi nhuận đạt mức tối đa) xảy ra khi và chỉ khi:
$x – 2 = 0 \implies x = 2$
(Thỏa mãn điều kiện $x < 24$).
Với $x = 2$, tức là cửa hàng cần tăng giá 2 lần.
Vậy mức giá cửa hàng nên bán mỗi đôi giày để lãi nhiều nhất là:
$600000 + 10000 \cdot 2 = 620000 \text{ (đồng)}$
Kết luận: Cửa hàng nên bán với giá 620000 đồng/đôi để thu được lợi nhuận cao nhất là 24200000 đồng/tháng.