Bài toán bán giày thi vào 10: Lập hàm lợi nhuận và tìm giá bán tối ưu được xây như một bài mô hình hóa thi vào 10: từ dữ kiện giá–lượng bán lập hàm lợi nhuận, xác định miền của biến rồi tối ưu hàm bậc hai.
Điểm khó cần nhận ra
Khó nhất là phân biệt doanh thu và lợi nhuận. Giá bán thay đổi kéo theo số lượng thay đổi; x còn phải thỏa điều kiện số lượng không âm và, nếu tăng theo “bước”, thường là số nguyên.
Đề bài
Bài 1: Một cửa hàng bán 200 đôi giày với giá 500 nghìn đồng/đôi. Mỗi lần tăng 10 nghìn đồng thì bán ít hơn 4 đôi. Giá vốn 300 nghìn đồng/đôi. Gọi x là số lần tăng giá. Lập hàm lợi nhuận.
Bài 2: Tìm giá bán cho lợi nhuận lớn nhất trong mô hình trên.
Bài 3: Lợi nhuận tối đa là bao nhiêu?
Bài 4: Nếu cửa hàng chỉ cho phép tăng giá theo bội 20 nghìn đồng, đáp án có đổi không?
Bài 5: Vì sao phải kiểm tra miền 0≤x≤50?
Lời giải chi tiết
Bài 1: Giá bán = 500 + 10x, lãi mỗi đôi = 200 + 10x, số bán = 200 − 4x. Vậy P(x) = (200 + 10x)(200 − 4x) nghìn đồng, với 0≤x≤50.
Bài 2: P(x) = 40 000 + 1 200x − 40x² = 49 000 − 40(x − 15)². P lớn nhất khi x = 15. Giá bán=650 nghìn đồng/đôi.
Bài 3: P(15) = 350 × 140=49 000 nghìn = 49 triệu đồng.
Bài 4: Khi đó x theo đơn vị 10 nghìn phải là số chẵn. Đỉnh x = 15 không được phép; kiểm tra x = 14 và 16: P(14) = P(16) = 48 960 nghìn. Giá tối ưu là 640 hoặc 660 nghìn đồng.
Bài 5: Vì x<0 không còn là “tăng giá”; x>50 làm 200 − 4x âm, vô nghĩa về số lượng bán. Mô hình chỉ có ý nghĩa trong miền thực tế.
Nhận xét
Bài toán thực tế nâng cao không kết thúc ở việc tìm đỉnh parabol. Cần giải thích ý nghĩa của biến, đơn vị tiền, tính nguyên của số bước và kiểm tra đáp án có hợp bối cảnh.